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五、多维随机变量及其分布，随机变量的独立性 1. 联合分布函数和边缘分布函数 （1）联合分布函数：对于，称函数 为二维随机变量的联合分布函数. （2）性质：①对均为单调非降； ②对均为右连续； ③，，，. （3）边缘分布函数和联合分布函数的关系： ，. 2. 联合分布律和边缘分布律 （1）联合分布律：. ；. （2）边缘分布律：；. 3. 联合分布密度和边缘分布密度 （1）定义：若对有 其中，则称为的联合分布密度. （2）性质：①； ②若在点连续，则； ③. （3）联合分布密度和边缘分布密度的关系： ；. （4）二维正态随机变量： 二维随机变量的联合分布密度为 其中都是常数，且，称服从参数为的二维正态分布，记. ①若，则，. ②若，则独立. 4. 随机变量的独立性 （1）定义：对于，如均有 即事件与独立，则称相互独立. （2）判定： ①相互独立对，. ②离散型相互独立对，. ③连续型相互独立几乎处处成立. 六、随机变量函数的概率分布 1. 一维随机变量函数的概率分布 问题：对于，连续函数，是一个随机变量，当已知的分布时，求的分布. （1）对离散型，依取值的对应，可求的分布. （2）对连续型，有两种方法： ①定理：若处处可导，且恒有（或恒有），是其反函数，则是连续型随机变量，且 . ②分布函数法：先用定义求，再对求导得到. 2. 二维随机变量函数的概率分布 （1）独立时，求的分布： 设的概率密度分别为，且相互独立，则的概率密度为 由上述卷积公式可推得 若，且相互独立，则 . 上述结论又可推广为 若，且相互独立，是不全为0的数，则 （2）独立时，求的分布： 设的概率密度分别为，且相互独立，则的概率密度为 七、随机变量的数字特征 1. 随机变量的数学期望 （1）离散型：设，若收敛，则称常数为的数学期望（均值），记. （2）连续型：设的分布密度为, 如果收敛，则称常数为的数学期望（均值），记. 2. 随机变量的方差 定义：如果存在，称此非负常数为的方差. 计算： （1）用定义计算： 离散型： 连续型： （2）用公式计算： 注：称为的标准差，与有相同的量纲. 3. 一些常见概率分布的数学期望和方差 （1）二项分布： . （2）泊松分布：. （3）几何分布： ， . （4）均匀分布：. （5）指数分布： . （6）正态分布： . 4. 随机变量的矩 设是随机变量，，以下数学期望均存在，则称 （1）为的阶原点矩； （2）为的阶中心矩. 八、随机变量函数的数学期望，期望与方差的性质 1. 一维随机变量函数的数学期望 （1）离散型：设，，则 （2）连续型：设的分布密度为, ，则 2. 二维随机变量函数的数学期望 （1）离散型：设，，则 （2）连续型：设的联合分布密度为, ，则 3. 期望与方差的性质 （1），其中为常数； （2），其中为常数； （3）对任意，有， 对相互独立的，有； （4）对相互独立的，有. 4. 随机变量的标准化 若存在，且令，则必有，称是的标准化变量，由求的过程称为将标准化. 补充定理：设相互独立，且是连续函数，，，…，，则相互独立. 切贝雪夫不等式及其连续变量情形下的证明: 切贝雪夫不等式： 设随机变量存在数学期望，方差，则对，成立不等式 ，或表示为 证明: 连续变量情形下 .