[概率论与数理统计—第四章随机变量的数字特征.doc

授课章节 第四章 随机变量的数字特征 目的要求 掌握期望与方差的概念，熟练掌握计算期望与方差的方法 重点难点 随机变量函数的期望和方差 第二章我们讨论了随机变量的分布函数，我们看到分布函数能够完整地描述随机变量的统计特性．但在一些实际问题中，不需要去全面考察随机变量的整个变化情况，而只需知道随机变量的某些统计特征．例如，在检查一批棉花的质量时，只需要注意纤维的平均长度，以及纤维长度与平均长度的偏离程度，如果平均长度较大、偏离程度较小，质量就越好．从这个例子看到，某些与随机变量有关的数字，虽然不能完整地描述随机变量，但能概括描述它的基本面貌．这些能代表随机变量的主要特征的数字称为数字特征．本章介绍随机变量的常用数字特征：数学期望、方差和相关系数． §1 数学期望 一、数学期望的定义 先看一个例子，某年级有100名学生，17岁的有2人，18岁的有2人，19岁的有30人，20岁的有56人，21岁的有10人，则该年级学生的平均年龄为 或 我们称这个平均值是数17、18、19、20、21的加权平均值，它是把这五个数的地位或权重看得不同。而是把这五个数的地位或权重看得相同。对于一般随机变量，其平均值定义如下： 定义 设离散型随机变量X的分布律为， k = 1、2、… ，或列表如下： X x1 x2 …… xk …… P p1 p2 …… pk …… 若级数绝对收敛，则称其收敛值为随机变量的数学期望或 均值，记为．若级数发散，则称随机变量的数学期望不存在。 设连续型随机变量的密度函数为，若积分绝对收敛，则称此收敛值为的数学期望或均值。记为，即。若积分发散，则称随机变量的数学期望不存在。 例1 设甲、乙两人打靶，击中的环数分别记为X、Y，且分布如下： X 8 9 10 Y 8 9 10 P 0.3 0.4 0.3 P 0.4 0.5 0.1 试比较他们的射击水平。 解：显然，平均的环数可以作为衡量他们设计水平的一个重要指标。因此，由 、 可得，甲的射击水平优于、乙的射击水平。 例2 设连续型随机变量X的密度函数是，求X的均值E（X） 。 解：。 二、几种重要分布的数学期望。 X 0 1 P 1-p p （1）0-1分布或两点分布 分布律： 则 。 （2）二项分布 分布律：，k = 0、1、… 、n， 由 ， 因为 ， 所以。 （3） 泊松分布 分布律：，k = 0、1、… ，所以， 。 连续（4） 均匀分布 均匀分布的概率密度为 ，因而 。 （5） 指数分布 指数分布的密度为或 ， 。或 。 （6） 均匀分布 正态分布的密度函数为，所以 。 三、随机变量函数的数学期望 在许多实际问题中，我们经常需要计算随机变量函数的数学期望，例如，飞机机翼受到的压力的作用，其中V为风速是随机变量，我们需要知道机翼受到的平均压力。为此，下面给出随机变量函数的数学期望的计算公式。 定理1 设为随机变量的函数：(g是连续函数)， （1）是离散型随机变量，分布律为；则有。条件是绝对收敛。（2）是连续型随机变量，它的分布密度为，则有 。条件是绝对收敛。 定理1 告诉我们：求时，不必知道的分布，而只需知道的分布就可以了。 例3 随机变量的分布律如表3-2： 表3-2 X 0 1 2 3 P 求． 解： 定理2 设Z是随机变量的连续函数， （1）是二维离散型随机变量，联合分布律为 ； 则有 。 （2）是二维连续型随机变量，联合分布密度为， 则有 ． 例4 设风速V在（0，a）上服从均匀分布，即它的密度函数是 ，又设飞机机翼受到的正压力W是V的函数，求W的数学期望。 解：。 例5随机变量（X，Y）的联合密度函 数是 求 数学期望E（Y），E（1/XY）. 解：由公式，得。 三、数学期望的性质 1°． 设是常数，则有． 2° 设是随机变量，设是常数，则有． 3° 设，是随机变量，则有 ．（该性质可推广到有限个随机变量之和的情况） 4° 设，是相互独立的随机变量，则有 ．（可推广到有限个随机变量之积的情况） 1、2由读者自己证明．我们来证明3和4．我们仅就连续型情形给出证明，离散型情形类似可证． 证明: 设二维连续型随机变量的联合分布密度为，其边缘分布密度为， ．则 + 。 性质3得证． 又若和相互独立，此时，故有 ] §2 方差 先看一个例子，设甲、乙两人打靶，击中的环数分别记为X、Y，且分布如下： X 8 9 10 Y 8 9 10 P 0.4 0.2 0.4 P 0.2 0.6 0.2 试分析他们技术水平的稳定性。直观上看，甲的射击水平波动较大，属情