[概率论与数理统计—第四章随机变量的数字特征.doc

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[概率论与数理统计—第四章随机变量的数字特征

授课章节 第四章 随机变量的数字特征 目的要求 掌握期望与方差的概念,熟练掌握计算期望与方差的方法 重点难点 随机变量函数的期望和方差 第二章我们讨论了随机变量的分布函数,我们看到分布函数能够完整地描述随机变量的统计特性.但在一些实际问题中,不需要去全面考察随机变量的整个变化情况,而只需知道随机变量的某些统计特征.例如,在检查一批棉花的质量时,只需要注意纤维的平均长度,以及纤维长度与平均长度的偏离程度,如果平均长度较大、偏离程度较小,质量就越好.从这个例子看到,某些与随机变量有关的数字,虽然不能完整地描述随机变量,但能概括描述它的基本面貌.这些能代表随机变量的主要特征的数字称为数字特征.本章介绍随机变量的常用数字特征:数学期望、方差和相关系数. §1 数学期望 一、数学期望的定义 先看一个例子,某年级有100名学生,17岁的有2人,18岁的有2人,19岁的有30人,20岁的有56人,21岁的有10人,则该年级学生的平均年龄为 或 我们称这个平均值是数17、18、19、20、21的加权平均值,它是把这五个数的地位或权重看得不同。而是把这五个数的地位或权重看得相同。对于一般随机变量,其平均值定义如下: 定义 设离散型随机变量X的分布律为, k = 1、2、… ,或列表如下: X x1 x2 …… xk …… P p1 p2 …… pk …… 若级数绝对收敛,则称其收敛值为随机变量的数学期望或 均值,记为.若级数发散,则称随机变量的数学期望不存在。 设连续型随机变量的密度函数为,若积分绝对收敛,则称此收敛值为的数学期望或均值。记为,即。若积分发散,则称随机变量的数学期望不存在。 例1 设甲、乙两人打靶,击中的环数分别记为X、Y,且分布如下: X 8 9 10 Y 8 9 10 P 0.3 0.4 0.3 P 0.4 0.5 0.1 试比较他们的射击水平。 解:显然,平均的环数可以作为衡量他们设计水平的一个重要指标。因此,由 、 可得,甲的射击水平优于、乙的射击水平。 例2 设连续型随机变量X的密度函数是,求X的均值E(X) 。 解:。 二、几种重要分布的数学期望。 X 0 1 P 1-p p (1)0-1分布或两点分布 分布律: 则 。 (2)二项分布 分布律:,k = 0、1、… 、n, 由 , 因为 , 所以。 (3) 泊松分布 分布律:,k = 0、1、… ,所以, 。 连续(4) 均匀分布 均匀分布的概率密度为 ,因而 。 (5) 指数分布 指数分布的密度为或 , 。或 。 (6) 均匀分布 正态分布的密度函数为,所以 。 三、随机变量函数的数学期望 在许多实际问题中,我们经常需要计算随机变量函数的数学期望,例如,飞机机翼受到的压力的作用,其中V为风速是随机变量,我们需要知道机翼受到的平均压力。为此,下面给出随机变量函数的数学期望的计算公式。 定理1 设为随机变量的函数:(g是连续函数), (1)是离散型随机变量,分布律为;则有。条件是绝对收敛。(2)是连续型随机变量,它的分布密度为,则有 。条件是绝对收敛。 定理1 告诉我们:求时,不必知道的分布,而只需知道的分布就可以了。 例3 随机变量的分布律如表3-2: 表3-2 X 0 1 2 3 P 求. 解: 定理2 设Z是随机变量的连续函数, (1)是二维离散型随机变量,联合分布律为 ; 则有 。 (2)是二维连续型随机变量,联合分布密度为, 则有 . 例4 设风速V在(0,a)上服从均匀分布,即它的密度函数是 ,又设飞机机翼受到的正压力W是V的函数,求W的数学期望。 解:。 例5随机变量(X,Y)的联合密度函 数是 求 数学期望E(Y),E(1/XY). 解:由公式,得。 三、数学期望的性质 1°. 设是常数,则有. 2° 设是随机变量,设是常数,则有. 3° 设,是随机变量,则有 .(该性质可推广到有限个随机变量之和的情况) 4° 设,是相互独立的随机变量,则有 .(可推广到有限个随机变量之积的情况) 1、2由读者自己证明.我们来证明3和4.我们仅就连续型情形给出证明,离散型情形类似可证. 证明: 设二维连续型随机变量的联合分布密度为,其边缘分布密度为, .则 + 。 性质3得证. 又若和相互独立,此时,故有 ] §2 方差 先看一个例子,设甲、乙两人打靶,击中的环数分别记为X、Y,且分布如下: X 8 9 10 Y 8 9 10 P 0.4 0.2 0.4 P 0.2 0.6 0.2 试分析他们技术水平的稳定性。直观上看,甲的射击水平波动较大,属情

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