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概率论与数理统计思想的应用 崔永伟1 ,杜聪慧2 (1.北方工业大学经济管理学院 ,北京 100041 ;2.西南交通大学经济管理学院 ,四川 成都 610031) 摘要:对偶然性的认识 ,是一个现代人知识结构中应具备的成分.本文就概率论与数理统计的方法与思想 ,在解决 代数、数学分析学科中的一些问题及在现代金融理论和日常生活中的应用展开一些讨论 ,从中可以看出概率方法 与数理统计的思想在解决问题中的高效性、简捷性和实用性. 关键词:概率方法;数理统计的思想;数学证明;机会的数学 中图分类号 :O21 　　　　　　　　文献标识码:A 　　　　　　　　文章编号:100822093 (2004) 0220061203 　　英国学者威尔斯说过“统计的思维方法 : ,就像读和写的 能力一样 ,将来有一天会成为效率公民的必备能力”. 概率论的发展历史悠久 ,理论高深而清晰 ,应用广泛. 集 合论、函数论等学科的发展为概率论奠定了基础 ,同时 ,概率 论的发展也为数理统计及其他数学学科的发展和解决有关问 题提供了行之有效的方法. 本文将就概率论与数理统计的方 法与思想 ,在解决代数、数学分析学科中的一些问题及在金融 领域和日常生活中的应用展开一些讨论 ,从中可以看出概率 方法与数理统计的思想在解决问题中的高效性、简捷性和实 用性. 1 　理论证明和求解方面的应用 1. 1 　在证明组合恒等式方面的应用 证明组合恒等式的方法多种多样 ,其中不乏代数方法、三 角方法、几何方法等等 ,但是对某些问题 ,如果建立恰当的概 率模型 ,就可以用概率方法巧妙地将其解决 ,从中可以看出概 率方法的威力. 例 1.证明 6 k t = 0 C t m C k - t n- m = C k n 本题是一个排列组合等式的证明 ,与古典概率有着密切 地联系 ,观察等式的特点 ,可建立如下模型加以解决. 证明:设一盒中装有 n 个球,其中有 m 个黑球, n - m 个 白球,现从中随机抽取 k 个球,令“At”表示“取出的 k 个球中 黑球的个数”, 则有: P( At = t) = C t mC k - t n- m C k n 　　其中 t = 0 ,1 ,2 , …, k 又事件“At = t”与事件“As = s”是互不相容事件( s ≠ t) , 从而有 P( ∪ k t =0 At = t) = 6 k t = 0 P( At = t) = 1 所以 　　6 k t = 0 C t mC k - t n- m C k n = 1 即 　　 6 k t = 0 C t m C k - t n- m = C k n 例 2. 6 n- m r = 0 C r n- 1+ r = C n 2 n- m 一些组合恒等式的证明有时可借助于一题多解的结果得 到. 建立如下概率模型:一个人在口袋里放了甲、乙两盒火 柴 ,每盒 n 只 ,每次抽烟时从口袋中随机拿出一盒(即每次每 盒有同等机会被拿出来) 并用掉一只. 到某次他迟早会发现 , 取出的那盒已经空了 ,问事件 E =“这时另一盒中恰好有 m 只火柴”的概率是多少 ? 解法1 :考察前 2 n +1 - m次抽用的情况,每次抽用时有2 种方法(抽出甲或乙盒) 故总的不同的抽法有 :2 2 n+1- m 种. 有利于上述事件 E的抽法,先看最后一次(即第 2 n + 1 - m 次) 是抽出甲盒的情况,为使此事件发生 ,则前 2 n - m 次 中, 必然有 n 次抽用甲盒, 实现这一点的不同的抽法为: C n 2 n- m ;同理最后一次抽出是乙盒的情况相同 ,故有利于事件 E的抽法为 2 C n 2 n- m ,所求概率为 : 2 C n 2 n- m 2 2 n+1- m = C n 2 n- m 2 2 n- m . 解法2 :因每盒只有 n只,最晚到第2 n + 1次抽取时 ,或在 此之前,必发现抽出的盒已空,故不管如何,总把试验抽至第 2 n + 1 次止,不同抽法为 2 2 n+1 种. 同上考虑有利于 E的抽法:先考虑“发现甲盒为空”的抽 法,要完成 2 n + 1 次抽取 ,对某个 r( r = 0 ,1 ,2 , …, n - m) 以 下同时出现 :(1) 第 n + r次抽取甲盒 ,而这时甲盒已经是第 n 次被抽; (2) 前 n + r - 1次抽时 ,乙盒被抽 r次,有 C r n+ r- 1 种抽 法; (3) 接下来紧接着的 n - m - r次全是抽出乙盒; (4) 第2 n - m + 1 抽取时抽出甲盒(此时发现甲盒为空,乙盒有 m 只) ; (5) 最后 m 次抽可任意抽(共 2 m 种抽法) ;即对固定的 r,共有 C r n- 1+ r2 m 种抽法,则“有利于事件