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§6.2 线性空间的定义与简单性质 高 等 代 数 第二节 线性空间的定义与简单性质 * * Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 第六章 线性空间 Linear Space Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 一、线性空间的概念 定义 1 设 V 是一个非空集合 , P 是一个数域 . 在集合 V 的元素之间定义了一种代数运算，叫做 加法； 这就是说，给出了一个法则，对于 V 中任 意两个元素 ? 与 ? ，在 V 中都有唯一的一个元素 ? 与它们对应，称为 ? 与 ? 的和，记为 ? = ? + ? . 在数域 P 与集合 V 的元素之间还定义了一种运算 , 叫做数量乘法； 这就是说，对于数域 P 中任一 数 k 与 V 中任一元素 ? ，在 V 中都有唯一的一个 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 元素 ? 与它们对应，称为 k 与 ? 的数量乘积，记 ? = k? . 如果加法与数量乘法满足下述规则，那 么 V 称为数域 P 上的线性空间. 加法满足下面四条规则： 1) ? ? ? ? ? ? ? ； 2) (? ? ? ) ? ? ? ? ? (? ? ? )； 3) 在 V 中有一个元素 0，对于 V 中任一元素 ? 都有 ? + 0 = ? (具有这个性质的元素 0 称为 V 的零元素) ； Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 4) 对于 V 中每一个元素 ? ，都有 V 中的元素 ? ，使得 ? + ? = 0 (? 称为? 的负元素) . 数量乘法满足下面两条规则： 5) 1 ? = ? ； 6) k( l? ) = ( kl )? . 数量乘法与加法满足下面两条规则： 7) ( k + l )? = k? + l? ; 8) k(? + ? ) = k? + k? . Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 在以上规则中，k , l 表示数域 P 中的任意数 ; ? , ? , ? 等表示集合 V 中任意元素. 线性空间的元素也称为向量. 当然，这里所谓 向量比几何中所谓向量的涵义要广泛得多. 线性空 间有时也称为向量空间. 一般用小写的希腊字母 ? , ? , ? , … 表示线性空间 V 中的元素，用小写的 拉丁字母 a, b, c, … 表示数域 P 中的数. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 注 ◆ 向量空间的定义可简单记为 “1128 ” ，即一个数域 P，这是基础域； 一个集合Ｖ； 两个运算，又叫做线性运算；八条规则，其中前四条是加法的运算律，这时称Ｖ对加法做成一个加群，第五、六条是数量乘法算律， 最后两条是分配律，表示两种运算之间的联系. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 例 1 在解析几何中， 平面或空间中一切向量组成的集合 V, 对于向量的加法及实数与向量的乘法, 构成实数域上的一个线性空间. 例 3 全体定义在区间 [a,b]上的连续函数组成的集合V, 对于函数的加法及实数与连续函数的乘法