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欧氏空间与双线性函数 基本概念 欧几里得空间 设V是实数R上一线性空间，在V上定义了一个二元函数，称为内积，记作（），它具有以下性质： （）=（）； （）= k(); ()= ()+(); （）≥0，当且仅当=0时，（）=0。 这里是V中任意的向量，k是任意实数，这样的线性空间V称为欧几里得空间。 2. 酉空间 设V是复数C上的线性空间，在V上定义了一个二元复函数，称为内积，记作（），它具有以下性质： （）=（）；这里（）是（）的共轭复数； （）= k(); （3） ()= ()+(); （4）（）≥0，当且仅当=0时，（）=0。 这里是V中任意的向量，k是任意实数，这样的线性空间称为酉空间。 3. 向量的长度 非负实数称为向量的长度，记为。 4. 向量的夹角 非零向量的夹角规定为 =, 0 5. 向量正交 如果向量的内积为零，即（）=0，那么正交，记为。 6. 基的度量矩阵 .是n维欧氏空间的V一组基,令，,称为基的度量矩阵。 7. 正交向量组 欧氏空间V中一组非零的向量，如果它们两两正交，就称为一正交向量组。 8. 正交基、标准正交基 在n维欧氏空间中，由n个向量组成的正交向量组称为正交基，由单位向量组成的正交基称为标准正交基。 9. 正交矩阵、酉矩阵 n级实矩阵称为正交矩阵,如果。 n级复矩阵称为酉矩阵,如果。 10. 欧氏空间同构 实数域R上欧式空间V与V称为同构的,如果由V到V有一个双射,满足 （1）(= （2） （3 这里V，kR，这样的映射称为V到V的同构映射。 11. 正交变换、酉变换 欧氏空间V的线性变换如果满足 则称为V的一个正交变换。 酉空间V的线性变换如果满足 则称为酉空间的一个酉变换。 12. 子空间正交、向量与子空间正交 设是 欧氏空间V的两个子空间，如果对于任意的 恒有 （）= 0 则称为正交的，记为。一个向量，如果对于任意的，恒有 （）= 0 则称与子空间正交，记为。 13. 子空间的正交补 子空间称为子空间的一个正交补，如果，并且。 14. 欧氏空间V的线性变换如果满足 则称为V的一个对称变换。 15. 向量之间的距离 长度称为向量和的距离。 16. 最小二乘解 实系数线性方程 可能无解，即任何一组实数 都可能使 （1） 不等于零。使等式（1）成立的最小实数组 称为方程组的最小二乘解。 17. 对称矩阵，Hermite矩阵 如果，则称矩阵为对称矩阵。如果，则称矩阵为Hermite矩阵。 18. Hermite二次型 设为Hermite矩阵，二次齐次函数 称为Hermite二次型。 19. 线性函数 设是数域上的一个线性空间，是到的一个映射，如果满足 （1） （2） 其中 是 中任意元素，是中任意元素，则称是上的一个线性函数。 20. 对偶空间、对偶基 设是数域上的一个n维线性空间，上全体线性函数组成的集合记作。用自然的方法在上定义加法和数量乘法，成为数域上的线性空间，称为的对偶空间。 设是数域上的一个n维线性空间,是的一组基，作上n个线性函数 ,使得 则为的一组基，称为的对偶基。 21. 双线性函数 是数域上的一个线性空间，是上一个二元函数，即对中任意两个向量，根据都唯一地对应于中一个数，如果有下列性质: (1) ; (2) ; 其中 是中任意向量，则称为上的一个双线性函数。 22. 双线性函数的度量矩阵 设是数域上n维线性空间上的一个双线性函数。是的一组基，则矩阵 叫做在基下的度量矩阵。