[正弦函数y=sinx的图象和性质.doc

【本讲教育信息】 一. 教学内容： 1.3.1 正弦函数的图象和性质 二. 教学目的 1、掌握用几何法绘制正弦函数的图象的方法；掌握用五点法画正弦函数的简图的方法及意义； 2、掌握正弦函数的性质及应用； 3、掌握正弦型函数的图象（特别是用五点法画函数的图象）、性质及应用。 三. 教学重点、难点 重点： 1、用五点法画函数的简图； 2、函数的性质及应用； 3、函数与的图象的关系。 难点： 1、正弦函数的周期性和单调性的理解； 2、函数与的图象的关系。 四. 知识分析 1、正弦函数图象的几何作法 采用弧度制， x、y 均为实数，步骤如下： （1）在 x 轴上任取一点 O1 ，以 Ol 为圆心作单位圆； （2）从这个圆与 x 轴交点 A 起把圆分成 12 等份； （3）过圆上各点作x轴的垂线，可得对应于0、、、、的正弦线； （4）相应的再把 x 轴上从原点 O 开始，把这0～这段分成 12 等份； （5）把角的正弦线平移，使正弦线的起点与 x 轴上对应的点重合； （6）用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来。 2、五点法作图 描点法在要求不太高的情况下，可用五点法作出，的图象上有五点起决定作用，它们是。描出这五点后，其图象的形状基本上就确定了。 因此，在精确度要求不太高时，我们常常先描出这五个点，然后用平滑的曲线将它们连接起来，就得到在相应区间内正弦函数的简图，这种方法叫做五点法。 注意： （1）描点法所取的各点的纵坐标都是查三角函数表得到的数值，不易描出对应点的精确位置，因此作出的图象不够精确。 （2）几何法作图较为精确，但画图时较繁。 （3）五点法是我们画三角函数图象的基本方法，要切实掌握好，与五点法作图有关的问题曾出现在历届高考试题中。 （4）作图象时，函数自变量要用弧度制，这样自变量与函数值均为实数，因此在 x 轴、 y 轴上可以统一单位，作出的图象正规，便于应用。 （5）如果函数表达式不是，则那五点就可能不是 如：用“五点法”作函数的简图，所用的五个关键点列表就是： 而用“五点法”作函数的简图，开始的一段图象所用的五个关键点列表就是： x 0 π 2π y 0 1 0 －1 0 3、正弦曲线 下面是正弦函数的图象的一部分： 4、正弦函数的值域 从正弦线可以看出：正弦线的长度小于或等于单位圆半径的长度； 从正弦曲线也可以看出：正弦曲线分布在 y = 1 和 y＝－1 之间，说明|sinx|≤1，即正弦函数的值域是［－1 , 1 ］。 注意：这里所说的正弦函数的值域是[－l,1]，是指整个正弦曲线或一个周期内的正弦曲线。如果定义域不为全体实数，那么正弦函数的值域就可能不是［－1,1］。如，则值域就是[0，1]， 因而在确定正弦函数的值域时，要特别注意其定义域。 5、周期函数的定义 一般地，对于函数 y＝f ( x ) ，如果存在一个不为零的常数 T ，使得当 x 取定义域内的每一个值时， f(x＋T)＝f(x)都成立，那么就把函数 y = f(x)叫做周期函数，不为零的常数 T 叫做这个函数的周期。 注意：( 1)定义应对定义域中的每一个 x 值来说，只有个别的 x 值或只差个别的 x 值满足f(x＋T)＝f(x)或不满足都不能说 T 是 f(x)的周期。 例如： 但是 就是说，不能对x的定义域内的每一个值都有, 因此不是 sinx的周期 。 （2）从等式f(x＋T)＝f(x)来看，应强调的是与自变量 x 本身相加的常数才是周期，如 f (2x + T) = f (2x) , T 不是f(2x)的周期，而应写成 f(2 x + T)＝＝ f( 2x ) ，则是 f ( 2x)的周期。 （3）对于周期函数来说，如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就称它为最小正周期，今后提到的三角函数的周期，如未特别指明，一般都是指它的最小正周期。 （4）并不是所有周期函数都存在最小正周期．例知，常数函数 f ( x ) = C ( C 为常数) , x ∈R ，当 x 为定义域内的任何值时，函数值都是 C ，即对于函数 f( x)的定义域内的每一个值 x ，都有 f ( x + T ) ＝ C ，因此 f (x)是周期函数，由于 T 可以是任意不为零的常数，而正数集合中没有最小者，所以 f (x)没有最小正周期。 再如函数 设 r 是任意一个有理数，那么当 x 是有理数时， x + r 也是有理数，当 x 为无理数时， x + r 也是无理数，就是说 D ( x )与 D ( x + r )或者等于 1 或者等于 O ，因此在两种情况下，都有 D ( x + r ) ＝ D ( x ) ，所以 D ( x )是周期函数， r 是 D ( x )