[第五章—代数系统的一般性质.ppt

∵ ?3∈ Q 有 3*3=3+3-3×3=-3≠3 ∴ *不满足幂等律 ∵ ?x,y,z∈ Q (x≠1) 有 x*y=x*z =x+y-xy=x+z-xz =y-z=x(y-z)= y=z 同理由于*是可交换的，故右消去律也成立。 ∴ *满足消去律 ∵ ?x∈Q 有 x*0=x+0-x×0= x =0+x-0×x=0*x ∴ 0是*运算的幺元（单位元） ∵ ?x∈Q 有 x*1=x+1-x×1= 1 =1+x-1×x=1*x ∴ 1是*运算的零元 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 单位元的求法： ∵ * 是可交换的，因此若*有左单位元，则它也是右 单位元， ∴ 它有单位元 设 rl 是左单位元，则对任意的 r ∈ Q ,应有 rl * r = rl + r – rlr =r 于是 rl – rlr = 0 = rl (1 – r )=0 由于r的任意性，要使上式成立，只有rl =0 ∴ 0 是运算 * 的单位元 由于 * 可交换,若元素 x 有左逆元 y,则 y 必是 x 的右逆元和逆元 设 y 是 x 的左逆元, 则应有 y * x = y+x-yx=0 于是 yx-y = x , 即 y(x-1) = x, x x y= x-1 (x≠1) ∴ x-1= x-1 (x≠1) Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 5.2 代数系统及其子系统和积代数 定义5.12 非空集合S和S上k个一元或二元运算f1, f2, …, fk组成的系统称为一个代数系统, 简称代数，记作 S, f1, f2,…, fk 。 例如 N , + , Z, + , ? , R , + , ? , Mn(R) , +, ? 等都是代数系统。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 在某些代数系统中存在着一些特定的元素，如幺元、零元等，它们对该系统的运算起着重要的作用，称这些元素为该代数系统的特异元素或代数常数。 有时，为了强调这些元素的重要性，经常把它们列到代数系统表达式中。例如： N , + 的幺元(单位元)是 0， 也可记为 N , + , 0 。 P(S), ∪, ∩, ~ 中∪和∩的幺元(单位元)是 φ和 S, 同样可记为 P(S), ∪, ∩, ~ , φ, S 等。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 定义5.13 设 V= S, f1 ,f2, …, fk 是代数系统, B ? S, 且B≠Φ, 如果B对f1, f2, …, fk都是封闭的, 且B和S含有相同的代数常数, 则称 B, f1, f2, …, fk 是V的子代数系统，简称子代数。 如： ① N, + 是 Z, + 的子代数, 因为N对+是封闭 　的，且它们都没有代数常数。( 幺元或零元 ) ② N,+,0 是 Z,+,0 的子代数，因为N对+是封 闭的，且它们都具有代数常数 0。 ③ N,－｛0｝,+ 是 Z, + 的子代数，但不是 Z,+,0 的子代数，因为代数常数0不出现在 N－｛0｝中 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 由子代数的定义不难看出，V的子代数与V本身不仅具有相同的代数运算