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第五章 中心力场 设氢原子处于状态 求氢原子能量、角动量平方、角动量z分量的 可能值及其几率，并求其平均值。 例题2 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 的可能值为： ， 解：能量的可能值为： 概率分别为：1/3，1/2，1/6 概率分别为：1/3，1/2，1/6 概率分别为：1/3，1/2，1/6 的可能值为： ， 平均值分别为： Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 设氢原子处于状态 求氢原子能量、角动量平方及角动量Z分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。 例题3 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 氢原子处在基态 ，求： (1)r的平均值； (2)势能 的平均值； (3)最可几半径； (4)动能的平均值； 例题4 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 解：(1) Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. * 即角动量 是守恒量。因而 也是守恒量。 §5.1 中心力场中粒子运动的一般性质 一、角动量守恒与径向方程 设质量为m的粒子在中心力场中运动，则哈密顿量算符表示为： 对于势能只与 r 有关而与θ,? 无关的有心力场，使用球坐标求 解较为方便。于是H可改写为： Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 在求解中心力场中粒子的能量本征方程时，选用 为力学量完全集是很方便的。这是因为：当选用了守恒量完全集（ ， ， ）来对态进行分类以后，属于同一个能级的诸简并态的正交性问题将自动得到保证。 能量本征方程为: 考虑到中心力场的特点：球对称性，选用球坐标系是方便的， 此时利用 ? x z 球 坐 标 r ? y Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 左边第一项称为径向动能算符，第二项称为离心势能。 H的本征方程 此式使用了角动量平方 算符 L2 的表达式： Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 取? : 分离变量,径向方程可写为： Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 径向波函数 或 的归一化条件可写成: ，（不慢于 ） 求解方程时，可作以下替换，使得计算更方便，令： 代入式得： 由于波函数要求有限，所以要求 这就是径向方程的一个定解条件。 Evaluation only. Created with A