[第五章常微分方程数值解法11.ppt

1、 收敛性简介（以显式Euler格式为例 ） 如果对任意固定的 ，数值解 当 （ ）时趋于准确解 ，则称该算法是收敛的。 为理解收敛性的含义，仅考察下列模型方程 对于Euler格式，上述问题的Euler格式具有形式 从而数值解 因此当时 , 即Euler法收敛！ 返回 这样做的根据是： 1）对试验模型不收敛的方法，不可用； 2）一般的初始问题在其解的存在区域内，可局部线性化转化为试验方程。 单步法收敛的充要条件为收敛阶p≧1。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 我们称算法是稳定的，如果在节点值 上有大小为 的扰动，而以后各节点值 上产生的偏差值均不超过 。 2、 稳定性简介 考察下列试验模型方程 进一步，若以后各节点产生的误差趋于零，则称算法是绝对稳定的。 1）对试验模型数值不稳定的方法，不可用； 2）一般的初始问题在其解的存在区域内，可局部线性化转化为试验方程。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 对于Euler格式，上述模型方程的Euler格式为 当选择h使得 时，Euler格式绝对稳定！ 其绝对稳定区域为 （1）显式欧拉法 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 对于隐式Euler格式，上述模型方程的隐式Euler格式为 显然绝对稳定区域为 解出yk+1，有 （2）隐式欧拉法 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. Numerical Analysis J. G. Liu School of Math. Phys. North China Elec. P.U. 第五章 常微分方程数值解法 §1 问题的提出和基本概念 1、问题的提出; 2、常微分方程初值问题的数值解法; 3、一些基本概念 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. §2 单步法及其收敛性 1、Euler法，梯形公式，改进Euler法 A）设计思想： （1） 差商代替导数； （2） 数值积分法； （3） 泰勒展开法。 B）改进的Euler公式 2、龙格-库塔（Runge-Kutta）法 A) 龙格-库塔法的设计思想； B) 龙格-库塔法的设计方法； C) 常用龙格-库塔法。 C ）总结 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. §3 步长的选择 1、 精度的控制； 2、 步长的自动选择。 §4 收敛性与稳定性简介 1、 收敛性； 2、 稳定性。 单步法小结 §6 一阶常微分方程组和刚性问题 §5 线性多步法简介 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 1、问题的提出 （1） 设初值问题（1）的解存在且唯一，求解（1）会遇到如下问题： A）（1）的解析解无法表出； B）（1）的解析解可以求出，但是计算其函数值