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第五节 系统的稳定性和代数稳定判据 小结 线性系统稳定的充要条件 劳斯代数稳定性判据（劳斯阵，各种特殊情况下劳斯阵的排列和判稳方法） 赫尔维茨代数稳定性判据 劳斯-赫尔维茨稳定性判据的应用 —判稳 —系统参数变化对稳定性的影响 —系统的相对稳定性 * * Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 一、稳定的基本概念和线性系统稳定的充要条件 稳定的基本概念：设系统处于一起始的平衡状态。在外作用的影响下，离开了该平衡状态。当外作用消失后，如果经过足够长的时间它能回复到起始的平衡状态，这样的系统称为稳定的系统 。否则是不稳定的系统。 线性系统稳定的充要条件：系统特征方程的根（即极点）全为负实数或具有负实部的共轭复根。或者说，极点应全部位于s平面的左半平面。 注意：稳定性是线性定常系统的一个属性，只与系统本身的结构参数有关，与输入输出信号无关；只与极点有关，与零点无关。 稳定的充要条件和属性 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 充要条件说明 具有负实部共轭极点的环节在有输入时，其稳态值趋于零。所以是稳定的。具有正实部共轭极点的环节是不稳定的。 极点处于虚轴，即具有共轭虚根的环节是临界稳定的。在脉冲函数输入时，做等幅振荡。 稳定区 不稳定区 临界稳定 S平面 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 对于一阶系统， 只要 都大于零，系统是稳定的。 对于二阶系统， 只有 都大于零，系统才稳定。（负实根或实部为负） 对于三阶或以上系统，求根是很烦琐的。于是就有了以下描述的代数稳定性判据。 充要条件说明 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 二、 劳思—赫尔维茨稳定性判据 （一）、劳思判据 设线性系统的特征方程为 则该系统稳定的充要条件为： 特征方程的全部系数为正值； 由特征方程系数组成的劳思阵的第一列也为正。 劳思阵的前两行由特征方程的系数组成。第一行为1，3，5，…第二行为2，4，6，…项系数。 劳斯判据 劳思阵如右： Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 以下各项的计算式为： 依次类推。可求得 劳斯判据 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 劳斯判据例子 [例]：特征方程为： ，试判断稳定性。 [解]：劳斯阵为： 稳定的充要条件为： 均大于零 且 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 特殊情况下劳斯阵列的列写及结论： 用一个正数去乘或除某整行，不会改变系统的稳定性结论； 劳斯阵第一列所有系数均不为零，但也不全为正数，则系统不稳定。表示s右半平面上有极点，极点个数等于劳斯阵列第一列系数符号改变的次数。