[第八章傅里叶变换.ppt

在原来电流为零的电路中, 某一瞬时(设为t=0)进入一单位电量的脉冲, 现在要确定电路上的电流i(t). 以q(t)表示上述电路中的电荷函数, 则 如果我们形式地计算这个导数, 得 如果 f(t) 在(-?, +?)上连续或只有有限个可去间断点, 且当|t|?+?时, f(t)?0, 则 一般地，如果 在(-?, +?)上连续或只有有限个可去间断点, 且当|t|?+?时, 有 2.1 单位脉冲函数的定义 定义 对于任何一个无穷次可微的函数 f(t), 称满足 2.2 单位脉冲函数的性质 (1) 积分性质 证明： Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 一些工程书中，δ-函数常用一个长度等于1的有向线段来表示. t O d(t) 1 (2) 筛选性质 对于无穷次可微的函数 f(t)，有 一般地 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 这一性质在近代物理和工程技术中有着较广泛的应用. 例1 求单位脉冲函数的傅氏变换. 解： 可见, 单位脉冲函数d (t)与常数1构成了一傅氏变换对； 同理, d(t-t0)和 亦构成了一个傅氏变换对. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 需要指出的是，此处的广义积分是按(1)式计算的，不是普通意义下的积分值，我们称这种傅氏变换为广义的傅氏变换. 根据傅氏积分公式，函数f(t)能取傅立叶积分变换的前提条件是它首先应绝对可积，即 实际上这个条件非常强，它要求f(t)条件较高，因而一些常见的函数都不满足这一点.如 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 如此以来，较强的条件使得傅立叶变换的应 用受到限制. 为克服这一缺陷，我们把单位脉冲 函数及其傅氏变换应用到其他函数的傅氏变换 中，得到它们的广义傅氏变换. 实际运算时，我 们通常用傅氏逆变换来推证. 比较典型的有： u(t)（单位阶跃函数）, sin t, cost. 同样可以说, 象函数F(w)和象原函数 f(t)亦构成一个傅氏变换对. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 例2 称为单位跃阶函数. 证：首先注意，这里的变换显然指的是广义变换. 我们用考察逆变换的方法证明. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 由于 所以 当 t0 时,有 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 同理当 t0 时，有 综上所述，根据(*), 有 证毕. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 解：由定义，有 例3 求 的傅氏逆变换. 特别地 故 得到 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-201