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浅析分块矩阵的性质和应用 作者姓名：周甜 河南理工大学与信息科学专业200级分块矩阵在高等代数中有着广泛的应用，矩阵的分块运算是矩阵运算的一种重要方法本文主要讨论了分块矩阵的初等变换，并举例说明和分析了分块矩阵在解决矩阵特征值计算和有关矩阵证明等问题中的应用利用分块矩阵可以使阶数比较高比较复杂的矩阵的特征值问题的解决变得简明而清晰Author Name：Zhou Tian Class 2 Grade 2007 of Mathematics and Applied Mathematics of College Mathematics and Information Science of Henan Polytechnic University School Summary：Block matrices has a wide use in Advanced Algebra. Operations of block matrices play an important role in the operation of matrices. This paper mainly illustrates the operation properties and the elementary transformations of block matrices. Several examples are given in the paper to show the applications of block matrices in calculating the eigenvalues of a matrix and proving a subject in connection with matrices. It is convenient to apply block matrices to deal with questions containing matrices with high order and complex appearances and calculating the eigenvalues of abstract matrices. Keywords: block matrices determinant eigenvalues elementary transformation the inverse of a matrix §1引言 在高等代数中，矩阵是一项非常重要的内容分块矩阵的概念有时候，我们把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的，就如矩阵是由数组成的一样，特别是在运算中，把这些小矩阵当作数一样来处理，这就是所谓的矩阵的分块设是一个 矩阵，若用若干横线条将它分成块，再用若干纵线条将它分成块，于是，我们就得到了一个有块的分块矩阵，，在这里表示的是一个矩阵分块矩阵的运算分块矩阵的运算在形式上和数字矩阵的运算完全一样，只要进行运算的矩阵的分块适当，分块矩阵有类似于普通矩阵的运算法则： ,都是矩阵，并且对,用同样的方法进行分块： 其中都是矩阵，即使同型矩阵，那么 应注意的是，利用分块法对两个同型矩阵进行加法运算时，两个矩阵必须采用相同的分块法。下面我们通过一个例题来详细了解加法的运算法则。 例2.1：， 解：将分块其中 其中 。 同理，设都是矩阵，把进行分块： ，为任意数，则 .分块矩阵的乘法 下面的定理表明，分块矩阵的乘法类似于矩阵的乘法： 例2.2：用分块法计算，其中 。 解：如上分块， ， ， 其中 ； 令，其中 ， ， ， ， ， 。 故。 值得注意的是，利用分块法对两个矩阵进行乘法运算时，左矩阵列的分法和右矩阵行的分法必须完全相同。 .分块矩阵的转置 对于一有块的分块矩阵， 值得注意的是，转置时，每一个小块也要转置，并且它的位置也要行列对调。 .对角分块矩阵的一些性质 对于方阵，经过分块后，非0对角块都只在主对角线上，而且每个小块都是方阵；即 ，其中都是方阵，那么称为方块对角矩阵。有如下性质： （1）行列式。 （2）若则，并且有 . （3）分块对角阵的乘法， （4）分块对角阵的转置， ，那么 3.分块矩阵初等变换的应用 定义3.1 将一个分块矩阵用若干条纵线和横线分成许多块的低阶矩阵，每一块低阶矩阵称为的子块。以子块为元素的矩阵称为分块矩阵。我们将单位矩阵分块：，其中是阶单位矩阵（）称为分块单位矩阵。 3.1 应用分块矩阵初等变换求矩阵的逆 下面我们先将初等变换求逆矩阵的方法 推广到分块矩阵中去。 定理3.1.1 可逆分块矩阵可以写成分块初等矩阵的乘积，其中，，…，，…，均为矩阵。 证明： 考虑，若不是可逆的，由于满秩，故必存在与同阶的不