数值分析作业2.1值分析作业2.1.doc

实验2.1 迭代法、初始值与收敛性 实验目的： 初步认识非线性问题的迭代法与线性问题的迭代法的差别，探讨迭代法及初始值与迭代收敛性的关系。 问题的提出： 迭代法是求解非线性方程（组）的基本方法，与线性方程的情况一样，其构造方程多种多样，但关键是怎样才能使迭代收敛且有较快的收敛速度。 实验内容： 考虑一个简单的代数方程为： 构造多种迭代法，如，，等。在实轴上取初始值，分别用以上迭代法做实验，记录各算法的迭代过程。 实验要求： 取定某个初始值，按如上迭代格式进行计算，它们的收敛性如何？重复选取不同的初始值，反复实验，利用matlab的图形功能，分析3种迭代法的收敛性与初值选取的关系。 程序： ①初始值=1.0时； 1.源程序为：syms x fx gx; gx=x^2-1;fx=x^2-x-1; disp(k x f(x)); x=1.0;k=0;ffx=subs(fx, x, x); while abs(ffx)0.0001; disp([num2str(k), , num2str(x), , num2str(ffx)]) x=subs(gx, x, x);ffx=subs(fx, x, x);k=k+1; a(k)=x; pause(1); if k100 break; end end plot(a,g-+); title(迭代次数k与x的函数关系); xlabel(迭代次数k); ylabel(x); grid on; disp([num2str(k), , num2str(x), , num2str(ffx)]); 2. 图形： 图2.1 迭代公式为： 图2.2 迭代公式为： 图2.3 迭代公式为： ②重复选取不同的，=-0.1; =2.0,实验结果为： ⑴=-0.1; 图2.4 迭代公式为： 图2.5 迭代公式为： 图2.6 迭代公式为： ⑵=2.0 图2.7 迭代公式为： 图2.8 迭代公式为： 图2.9 迭代公式为： 实验结果分析：迭代公式明显不收敛；和迭代公式收敛，但是收敛速度与初值选取有关，如：选取=2.0时，的收敛速度更快一些，而选取=-0.1时，二者收敛速度一样。 对3种迭代法中的某一个，取不同的初始值进行迭代，结果如何？试分析不同初始值的迭代结果是否有差异。 如：选取取=1.5；=1.1进行迭代，结果如下图所示。 图2.10 选取=1.5 图2.10 选取=1.1 分析：不同的初始值的迭代结果有差异，在越接近方程根处取初始值迭代速度越快。