数值分析典型例题数分析典型例题.doc

数值分析典型例题 例1 对下列各数写出具有5位有效数字的近似值。236.478, 0 9.000024, 9.000034. 解：按照定义，以上各数具有5位有效数字的近似值分别为：236.478， 0.0023471， 9.0000， 9.0000。 注意: =9.000024的5位有效数字是9.0000而不是9，因为9是1位有效数字。 例2 指出下列各数具有几位有效数字。2.0004， -0.00200， -9000， 9，2。 解：按照定义，以上各数的有效数字位数分别为5， 3， 4，1，1 例3 已测得某物体行程的近似值s=800m，所需时间的近似值为t=35s，若已知，试求平均速度的绝对误差和相对误差限。 解：因为，所以 从而 同样 所以 因此绝对误差限和相对误差限分别为0.05和0.00205。 例4试建立积分的递推关系，并研究它的误差传递。 解：……………………………………………..…...(1) ，计算出后可通过（1）依次递推计算出,…,。但是计算时有误差，由此计算出的,…,也有误差，由（1）可知近似值之间的递推关系为……………………………………………….…..(2) （1）-（2）可得 ，由计算时误差被放大了倍。所以（1）不稳定。 可以改写为 ……………………………………… （3） 如果能先求出，则依次可以求出,…,，计算时有误差，这样根据（3）计算,…,就有误差，误差传播为 ，误差依次减少。 例5 用二分法求解方程在区间[0,1]内的1个实根，要求有3为有效数字。 解：因为，且当时，，所以方程在[0,1]内仅有一个实根，由，解得，所以至少需要二分10次，才能得到满足精度要求的根。 第次有根区间为，该题的二分法的计算过程间下表，结果。 0 0（+） 0.5(-) 1(-) 1 0（+） 0.25(+) 0.5(-) 2 0.25（+） 0.375(+) 0.5(-) 3 0.375（+） 0.4375(+) 0.5(-) 4 0.4375（+） 0.46875(-) 0.5(-) 5 0.4375(+) 0.453125(-) 0.46875(-) 6 0.4375(+) 0.4453125(-) 0.453125(-) 7 0.4375(+) 0+) 0.4453125(-) 8 0+) 0.443359375(+) 0.4453125(-) 9 0.443359375(+) 0.444335937(+) 0.4453125(-) 10 0.444335937(+) 0.444824218(+) 0.4453125(-) 例6 在区间[2,4]上考虑如下2个迭代格式的敛散性 （1） （2） 解：（1），当时，；，由收敛定理可知对任意的，迭代格式收敛 （2），当时，从而该迭代格式发散。 例7 用迭代法求方程在0.4附近的根，精确到4位有效数字。 解：将方程改写成等价的形式，于是有。，从而迭代格式是局部收敛的，计算结果如下。 ，误差不超过，从而近似解具有4位有效数字。 例8 用列主元Gauss消元法解线性方程组 解：方程组的增广矩阵为 ，通过回带过程得解为。 例9 将方程组的系数矩阵作LU分解，并求方程组的解。 解：增广矩阵为，LU的紧凑格式为 ，所以系数矩阵的LU分解为 ，等价的三角形方程组为，解得。 例10 假设矩阵，求。 解： 的特征方程为 ，其特征根为 例11讨论用Jacobi迭代法求解线性方程组的收敛性，如果收敛，取初值，求。 解：方程组的系数矩阵，迭代矩阵，特征方程即，通过计算得其特征值为，因此，从而迭代法是收敛的。 迭代格式为，将初值带入计算可得 例12 讨论用Guass-Seidel迭代法求解线性方程组的收敛性，如果收敛，取初值，求。 解：方程组的系数矩阵，迭代矩阵的特征方程即，通过计算得特征值为，因此，从而迭代法是收敛的。 迭代格式为，将初值带入计算可得 例13已知，用一次插值多项式、二次插值多项式近似sinx，并用此近似求出。 解：取和作为节点作一次插值得 取和作为节点作一次插值得 。 取、和为插值节点，作二次插值 误差分析： 可以看出用和做线性插值的精度比用和做线性插值的精度高，因为在和之间。 例14 已知节点上的函数值及，求一个次数不超过3的多项式使得，且，并估计插值余项，其中互不相同。 解：（1）求插值多项式，假设，其中，由于，得到 假设，由于，是R(x)的一重零点，是二重零点，从而，显然在插值区间内，作辅助函数，显然在插值区间内有5个零点，分别是，，，，，反复使用Rolle定理可得，即，。