数值分析复习题数值析复习题.doc

第一章 习题解答与问题 一、习题解答 1 设x0，x的相对误差限为δ，求 ln x 的误差。 2 设 x = – 2.18 和 y = 2.1200 都是由准确值经四舍五入而得到的近似值。求绝对误差限(( x ) 和 (( y ) 。 4 已知近似数x 有两位有效数字，试求其相对误差限。 解：| er(x) | ≤ 5 × 10– 2 。 5 设 y0 = 28，按递推公式 yn = yn-1 – / 100 ( n = 1，2，…) 计算到y100。若取27.982 （五位有效数字），试问，计算 y100 将有多大的误差？ 8 序列{ yn }满足递推关系 yn = 10yn-1 – 1 (n = 1，2，……)。若取 y0 = ≈1.41（三位有效数字），按上述递推公式，从y0计算到y10时误差有多大？这个计算过程稳定吗？ 解 取 x0 = 1.41，记 e(x0) = 1.41 –。根据 xn = 10xn-1 – 1 (n = 1，2，……) 得 e(xn) = 10e(xn-1) (n = 1，2，……，10) 所以 e(x10) = 1010e(x0) 从y0计算到y10时误差估计为 |e(x10)| = 1010 |e(x0)| ≤0.5×108。这是一个数值不稳定的算法。 2．设计算球体V允许其相对误差限为 (r(V)=1%（或| er(V) | ≤1/%），问测量球半径R的相对误差限(r(R) 最大为多少? 3.简述如何避免误差危害(简答题) 1.避免除数绝对值远小于被除数绝对值的除法，否则可能会扩大舍入误差，甚至出现溢出。2. 避免两相近数相减，否则会使有效数字严重损失3. 尽可能防止大数吃掉小数字，否则可能影响结果的可靠性4. 简化计算步骤，减少运算次数5.选用数值稳定的算法 P19页：1 ，2 ， 5， 6， 7， 10, 12 第二种复习题 一 填空题 1 则 2 ，则=（ ），=（ ） 3 若次多项式在个节点 上满足条件 称之为插值基函数。 余项为 4均差与差分的关系： 差分与导数的关系 一、习题解答 1．求经过A(0，1)，B(1，2)，C(2，3)三个样点的插值多项式 2．已知函数的数据如下表 x 0 1 2 3 y 1 3 9 27 试作一个三次插值多项式P3(x),利用P3(x)计算 解：令xk = k (k = 0，1，2，3)，则根据函数表有f(xk)= 3k。构造差商表 x f(x) 0 1 1 3 2 2 9 6 2 3 27 18 6 4/3 根据Newton插值公式 由于被插值函数，故取 x = 1/2，便得 3．已知函数y = f(x)的数据如下表 x – 1 0 1 y -1 0 1 y’ 0 解：由于x=0是二重零点，令H3(x)= x2(a x + b )。又由H3(-1)= - 1，H3(1)=1得方程组 解之：a =1，b = 0 所以，H3(x) = x3。 8．求一个次数不高于4次的多项式P(x),使它满足:P(0) =0，P’(0) =0，P(1) =1，P’(1) =1，P(2) =1，并写出其余项表达式. 解：由题意 P(x) = x2(ax2 + b x + c )，由插值条件得方程组 求解，得 a =1/4，b= – 3/2 ，c =9/4。所以 插值余项为 名词解释：1拉格朗日插值基函数及余项 2课后习题1 ，5 ， 8 ， 13 ，14 ，16 第三章 复习题 1．求 f(x) = ex 在区间[–1，1]上的三次最佳逼近多项式。 解：利用勒让德多项式作基函数，即 P(x) = a0 p0(x) + a1 p1(x) + a2 p2(x) + a3 p3(x)，其中 p0(x) = 1，p1(x) = x， ， 利用正交性，得系数为 ( n = 0，1，2，3) 而 1.1752，1.1036， 0.3578，0.0705 所以， P(x) = 1.1752 + 1.1036 x+ 0.3578+0.0705 =0.9963+0.9978 x + 0.5367 x2 + 0.1762 x3 （可直接写方程组，最后结果不用写数字） 4. 2．求a，b使最小。 例1 求在上的最佳2次一致逼近多项式. 例2求在上的最佳2次一致逼近多项式. 例3 设求上的最佳一次一致逼近多项式 例4 设求上的一次最佳平方逼近多项式 例5 设，求上的2次最佳平方逼近多项式 二 填空题 1. 伯恩斯坦多项式为（ ） 2. 连续函数空间中的 1-范数、2-范数和-范数分别为 ，。 3. 设 是上带权的正交多项式，则在区间内有（ ） 个不同的零点. 4. 勒让德多项