数值分析 插值法数分析 插值法.doc

第二章 插值法 在科学研究与工程技术中，常常遇到这样的问题：由实验或测量得到一批离散样点，要求作出一条通过这些点的光滑曲线，以便满足设计要求或进行加工。反映在数学上，即已知函数在一些点上的值，寻求它的分析表达式。此外，一些函数虽有表达式，但因式子复杂，不易计算其值和进行理论分析，也需要构造一个简单函数来近似它。 解决这种问题的方法有两类：一类是给出函数的一些样点，选定一个便于计算的函数形式，如多项式、分式线性函数及三角多项式等，要求它通过已知样点，由此确定函数作为的近似，这就是插值法；另一类方法在选定近似函数的形式后，不要求近似函数过已知样点，只要求在某种意义下在这些样点上的总偏差最小。这类方法称为曲线（数据）拟合法。 设已知区间上的实值函数在个相异点处的函数值，要求构造一个简单函数作为函数的近似表达式 使得 (2-1) 这类问题称为插值问题。称为被插值函数；为插值函数；为插值节点；(2-1)为插值条件。 若插值函数类是代数多项式，则相应的插值问题为代数插值。若是三角多项式，则相应的插值问题称为三角插值。若是有理分式，则相应的插值问题称为有理插值。 §1 Lagrange 插值 1.1 Lagrange 插值多项式 设函数在个相异点上的值是已知的，在次数不超过的多项式集合中，求使得 (2-2) 定理1 存在惟一的多项式满足插值条件(2-2)。 证明 我们采用构造性的证明方法。假如我们能够构造出次多项式，使得 (2-3) 那么 (2-4) 是满足插值条件(2-2)的插值多项式。 余下的问题就是如何构造出满足式(2-3)的次多项式。由于当时，，即是的零点，因此必然具有形式 又因，故，因此 (2-5) 至于多项式的惟一性是极其简单的事实，只要注意到次多项式且有零点这一事实。 公式称为Lagrange 插值公式，相应的称为Lagrange插值多项式，称为节点上的次插值基函数。 令，由插值多项式的存在惟一性可得 (2-6) 由(2-6)知，任取，那么均可用线性表出。由此看出，就是。 在(2-6)中取，则。 为了今后的需要，我们引入以下记号 (2-7) 容易求得 并有，将其代入插值基函数的表达式 于是插值公式可写为 (2-8) 1.2 插值余项及估计 称为Lagrange 插值多项式的余项. 定理2 设，且在内存在，是以为插值节点函数的Lagrange插值多项式，则对内的任意点，插值余项为 (2-9) 证明 对上任意的点，且，构造辅助函数 显然，又由插值条件可知 ，故函数在内至少有个零点。根据罗尔（Rolle）定理，函数在内至少存在个零点，反复应用罗尔（Rolle）定理，可以得出在内至少存在一个零点，设为，即 由于 所以有 证毕。 推论1 设， 在上存在，则有 (2-10) 其中。 证明 对上任意的，可设属于的一个子区间，由此可以得出 从而有 此不等式与式(2-9)相结合有 由此可得到估计式(2-10)。 证毕。 例1已给, ,用线性插值及拋物线插值计算的值，并估计截断误差。 解 由题意取 用线性插值计算，取及，由公式(2-4)得 其截断误差由(2-9)得 其中。因，可取，有 用抛物插值计算。由公式(2-4)得 有 这个结果与6位有效数字的正弦函数表完全一样，这说明用二次插值精度已相当高了.其截断误差限由(2-9)得 其中，于是 §2 均差与Newton插值公式 2.1 均差及其性质 Lagrange插值公式结构紧凑和形式简单，在理论分析中甚为方便。但Lagrange插值公式也有其缺点，当插值节点增加、减少或其位置变化时，全部插值基函数均要随之变化，从而整个插值公式的结构将发生变化，这在实际计算中是非常不利的。Newton插值公式可以克服这个缺点， 定义1 称为关于点的一阶均差。 为关于点的二阶均差。一般地，有了阶均差之后，称 (2-11) 为关于点的阶均差（差商）。 均差有如下的基本性质： 性质1 各阶均差具有线性性，即若，则对任意正整数，都有 性质2 阶均差可表示成的线性组合，即 这个性质可用归纳法证明。它也表明均差与节点的排列次序无关，称为均差的对称性。 性质3 设，并且，为相异节点，那么的阶均差与其阶导数有如下关系 2.2 牛顿插值多项式 由各阶均差的定义，依次可得 将以上各式分别乘以 ，然后相加并消去两边相等的部分，即得 其中 (2-12) (2-13) 显然，是至多次的多项式。而由 即得。这表明满足插值条件(2-2)，因而它是的次插值多项式。这种形式的插值多项式称为Newton插值多项式。 Newton插值的优点是：每增加一个