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本科毕业论文 学院：数学与信息科学学院 班级：信息与计算科学 姓名：李稳稳 指导老师： 高福根 职称：副教授 完成日期： 2015 年 4月1 日 不等式的证明及其在解题中的应用 【摘要】不等式证明是进行计算、推理、数学思想方法渗透的重要题材，是数学内容的重要组成部分，在数学中有着举足轻重的地位。而且，在我们一般的生活和生产中，量有相等关系，也有不等关系，凡是比较量大小的问题，都要用到不等式的有关知识。在本论文中，我总结了一些数学中证明不等式的方法，并列举了不等式在解决数学问题和实际生活问题中的应用实例，从而使不等式的证明方法和应用更加完善，有利于我们进一步探讨和研究不等式的证明和应用。这些这些证明方法和应用实例的学习，可以帮助我们解决一些实际问题，培养逻辑推理能力和抽象思维能力以及养成勤于思考、善于思考的良好学习习惯。 【关键词】不等式 比较法 数学归纳法 函数 均值不等式 绝对值不等式 Method to prove inequality and application in middle school mathematics 【Abstract】 【Key words】inequality comparative law mathematical induction function the mean inequality absolute value inequality 目录 1 引言…………………………………………………………….. 2 不等式 2.1不等式的由来 2.2不等式的定义 2.3不等式的定义 2.4不等式的基本解法 3不等式证明的基本方法……………………………………….. 3.1 比较法 3.1.1 作差比较法 3.1.2作商比较法 3.2 分析法 3.3 综合法 3.4 反证法 3.5 换元法 3.5.1 三角代换法 3.5.2增量换元法 3.6 放缩法 3.6.1“添舍”放缩 3.6.2利用基本不等式 3.6.3 分式放缩 3.8 数学归纳法 3.9构造解析几何模型构造不等式 3.10 判别式法 3.11标准化法 3.12 分解法 4利用函数证明不等式 3.1利用函数单调性 3.2利用函数的极值 3.3利用函数的凹凸性 3.4利用中值定理 3.4.1利用拉格朗日中值定理 3.4.2利用柯西中值定理 3.5利用泰勒公式 4、均值不等式和绝对值不等式在中学解题中的应用 5 小结 参考文献： 致谢 1、引言 在数学中，不等式的证明和应用是一个非常重要的内容，我们知道量有不等关系和相等关系，虽然不等关系比相等关系更加广泛的存在于现实生活中，但是人们对于不等式的认识却比方程晚的多，直到十七世纪以后，不等式的理论才逐渐发展起来，成为数学基础理论的一个重要组成部分。 在本文中我主要介绍一些证明不等式的基本方法和部分重要不等式的应用实例，不等式的证明没有固定的程序，证法因题而易，灵活多变，技巧性强。希望通过对这些内容的的学习，我们可以更好地掌握不等式学习的一些技巧和特点，从而深化一下我们对不等式的认识，以便对不等式的进一步研究。 2 不等式 2.1不等式的由来 众所周知，不等式理论在数学理论中占有重要地位，它渗透到数学的各个领域，因而有必要对不等式理论的发展历史有一个清晰的认识。而不等式的证明则是不等式研究的重要内容，数学不等式的研究首先从欧洲国家兴起, 东欧国家有一个较大的研究群体, 特别是原南斯拉夫国家。目前,对不等式理论感兴趣的数学工作者遍布世界各个国家。要追寻一个大家所熟知的不等式的起源是很困难的，很可能它是在一篇关于几何或文学方面的论文中作为一个辅助命题首先出现，但在出现的时候却又往往没有明确的表达出来。过了若干年后，它又可能为几个不同的作者重新发现。但也许没有一个可以过得去的叙述是十分完善的。 2.2不等式的定义 用不等号连接的式子叫做不等式.用纯粹的大于号“”、小于号“”连接的不等式称为严格不等式，用大于或等于号“≥”、小于或等于号“≤”连接的不等式称为非严格不等式，或称广义不等式。 通常不等式中的数是实数，字母也代表，不等式的一般形式为F(x，y，……，z)≤G(x，y，……，z )（其中不等号也可以为，≥， 中某一个），两边的解析式的公共定义域称为不等式的定义域，不等式既可以表达一个命题，也可以表示一个问题。 )；如果ab,且c0,那么acbc(或） ③如果ab,且c0, 那么acbc(或)；如果ab,且c0,那么acbc(或如果ab,且c0,那么acbc(或） 3不等式证明的基本方法 3.1 比较法 比较法比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一