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[第24章圆单元复习
第24章 圆 复习
24.1 圆
24.1.3 弧、弦、圆心角
1、顶点在圆心的角叫做圆心角。
2、定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等。
推论1:相等的弧所对的弦相等,所对的圆心角也相等。
推论2:相等的弦所对的弧相等,所对的圆心角也相等。
24.1.4 圆周角
1、顶点在圆上,且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
2、圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,且都等于这条弧所对的圆心角的一半。
推论1:在同圆或等圆中,如果两个圆周角相等,那么它们所对的弧也一定相等。
推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径。
3、如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,那么这个多边形就叫做圆内接多边形,这个圆就叫做多边形的外接圆。
4、圆内接四边形的对角互补。
24.2 点、直线、圆和圆的位置关系
24.2.1 点和圆的位置关系
1、若⊙O的半径为r,点P到圆心的距离为d,则有:
点P在圆外?dr;点P在圆上?d=r;点P在圆内?dr。
(“?”读作“等价于”,表示可以从符号“?”的一端得到另一端)
2、经过已知的两个点的圆的圆心在这两个点的连线段的垂直平分线上。
3、不在同一直线上的三个点确定一个圆,确定方法:作三点的连线段的其中两条的垂直平分线,交点即为圆心,以圆心到其中一点的距离作为半径画圆即可。
4、若三角形的三个顶点在同一个圆上,那么这个圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点,叫做三角形的外心。
5、假设命题的结论不成立,经过推理得出矛盾,则假设不正确,故原命题成立,这种证明方法叫做反证法。
24.2.2 直线和圆的位置关系
1、当直线与圆有两个公共点时,叫做这条直线与圆相交,这条直线叫做圆的割线。
当有一个公共点时,叫做直线与圆相切,这条直线叫做圆的切线,这个点叫做切点。
当没有公共点时,叫做直线与圆相离。
2、若⊙O的半径为r,直线l到圆心的距离为d,则有:
直线l与圆相交?dr;直线l与圆相切?d=r;直线l与圆相离?dr。
3、切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线就是圆的切线。
切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径。
4、经过圆外一点作圆的切线,这个点到切点的长度叫做这点到圆的切线长。
5、切线长定理:从圆外一点可以引出两条切线,它们的切线长相等,这个点与圆心的连线平分两条切线的夹角。
6、与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心是三角形三条边的角平分线的交点,叫做三角形的内心。确定内切圆方法:作出角平分线,以交点为圆心,以它到任意一边的距离为半径作圆即可。
24.2.3 圆和圆的位置关系
1、如果两个圆没有公共点,就叫做这两个圆相离(如(1)(5)(6))。
其中(1)叫做外离,(5)(6)叫做内含,(6)中两圆同心是内含的一种特殊情形。
2、如果两个圆只有一个公共点,就叫做这两个圆相切(如(2)(4))。
其中(2)叫做外切,(4)叫做内切。
3、如果两个圆有两个公共点,就叫做这两个圆相交(如(3))。
4、若两个圆的半径分别为r1、r2(r1r2),圆心距(两圆圆心的距离)为d,则
外离 dr1+r2 内含 dr1-r2 外切 d=r1+r2 内切 d=r1-r2 相交 r1-r2dr1+r2
24.3 正多边形和圆
1、将一个圆分成n段相等的弧,再将弧的端点顺次连接,即可得到圆内接正n边形,这个圆就叫做正n边形的外接圆。
2、正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心,其外接圆的半径叫做正多边形的半径,正多边形每一边所对的圆心角叫做中心角,中心到正多边形任意一边的距离叫做边心距。
3、画边长为R的正六边形的方法:
①以R为半径作圆,用量角器画出一个(360°÷6=)60°的圆心角,以R为半径作圆,
正多边形补充知识:
1、正多边形都有内切圆和外接圆,这两个圆是同心圆(即垂直平分线、角平分线的交点)。
2、设正n边形的半径为R,边心距为r,边长为a,周长为C,面积为S,(1)a=2R·sin (180°/n)
(2)r=R·cos (180°/n)
(3)S=1/2r·a·n=1/2Cr3、每一个正多边形都是轴对称图形,当边数为偶数时,它还是中心对称图形。
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