[第3章随机变量的数字特征.doc

第三章 随机变量的数字特征 内容 提要 本章主要讲述离散型随机变量的数学期望，连续型随机变量的数学期望，随机变量的函数的数学期望，数学期望的性质；方差的概念，方差的计算，方差的性质；协方差及相关系数的定义，协方差与相关系数的性质，矩等内容． 重点 分析 理解数学期望与方差的概念，掌握它们的性质与计算． 了解二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布、指数分布的数学期望与方差． 了解矩、相关系数的概念及其性质与计算． 难点 分析 数学期望与方差的概念、性质与计算． 矩、相关系数的概念、性质与计算． 习题 布置 习题3 (1,3,5,7,11,1520,22,24) 备注 教 学 内 容( Contents ) Chapter Three 随机变量的数字特征(Figure Characteristic of Random Variable) 第二章我们讨论了随机变量的分布函数，我们看到分布函数能够完整地描述随机变量的统计特性．但在一些实际问题中，不需要去全面考察随机变量的整个变化情况，而只需知道随机变量的某些统计特征．例如，在检查一批棉花的质量时，只需要注意纤维的平均长度，以及纤维长度与平均长度的偏离程度，如果平均长度较大、偏离程度较小，质量就越好．从这个例子看到，某些与随机变量有关的数字，虽然不能完整地描述随机变量，但能概括描述它的基本面貌．这些能代表随机变量的主要特征的数字称为数字特征．本章介绍随机变量的常用数字特征：数学期望、方差和相关系数． §3.1 数学期望(随机变量的均值) Mathematical Expectation（Average of Random Variable） 一、 离散型随机变量的数学期望(Mathematical expectation of discrete random variable) Example 3.1 某年级有100名学生，17岁的有2人，18岁的有2人，19岁的有30人，20岁的有56人，21岁的有10人，则该年级学生的平均年龄为 事实上我们在计算中是用频率的权重的加权平均，对于一般的离散型随机变量，其定义如下： Definition 3.1 设离散型随机变量的分布律为表3-1 表3-1 若级数绝对收敛，则称其为随机变量的数学期望(Mathematical expectation)或均值(Average)．记为．若级数发散，则称随机变量的数学期望不存在．(Suppose is a discrete random variable, which distribution law is table 3-1. if progression is absolutely convergent, then it is called mathematical expectation (or average) of random variable , which is written . If seriesis divergent, then random variable has not mathematical expectation.) Example 3.2 一批产品在有一二三等品及废品4种，所占比例分别为，各级产品的出厂价分别为6元，4.8元，4元，0元，求产品的平均出厂价． Solution 由题意产品的平均出厂价为 (元) Example 3.3 设随机变量服从二项分布，求它的数学期望． Solution 由于 因而 Example 3.4 设随机变量服从参数为的泊松分布，求它的数学期望． Solution 由于 因而 Example 3.5 已知离散型随机变量的概率分布为 ，． Solution 二、 连续型随机变量的数学期望(Mathematical expectation of a continual random variable) Definition 3.2 设连续型随机变量的分布密度函数为，若积分绝对收敛，则称其为的数学期望或均值．记为，．(Suppose is a continuous random variable, which its probability density function is . if integral, , is absolutely convergent, then it is called mathematical expectation (or average) of random variable, which is written, and .) Example 3.6 设随机变量服