[第5章参数估计王想.doc

5 参数估计 估计理论是数理统计学的重要内容之一。我们知道，服从泊松分布的随机变量，其概率分布由一个参数确定；服从指数分布的随机变量，其概率分布由一个参数确定。就是说，对所要研究的随机变量，当它的概率分布的类型为已知时，还需确定分布函数中的参数是什么值，这样随机变量的分布函数才能完全确定。例如，人的寿命服从指数分布，如果要求知道某个年龄段的人再活年的概率是多少，那么就要首先确定指数分布中的参数取什么值，然后才能得出所要求的概率。这就提出了参数的估计问题。设总体的分布函数为，其中参数为未知，如果得到了的一个样本，试问怎样由样本提供的信息，建立样本的函数即统计量来对未知参数作出估计，并且估计量的“最佳”准则又怎样确定？这类统计问题，称为参数的估计问题。 从样本（数据）中提取与研究问题有关的信息，并利用它得到关于现实世界的结论的过程就叫统计推断。显然，估计是统计推断的主要内容之一。统计推断的另一个主要内容假设检验将在下一章进行介绍。 本章介绍了基于样本统计量的参数估计，包括点估计和区间估计。通常在实际应用中，我们需要确定样本容量。一个学校的食堂到底需要了解多少位学生的意见才能够准确地预测学校学生对食堂的满意度呢？到底要检查多少个日光灯管才能够确信学校日常所用日光灯管的质量达到了某个标准呢？为此，本章也介绍了关于确定样本量的一些方法。 5.1 抽样与抽样调查 在对实际问题进行研究时，如果我们掌握了所研究的总体的全部数据，那么只需要作一些简单的统计描述，就可以得到有关总体的数字特征，比如，总体的均值、方差、比例、比率等。但现实情况往往比较复杂，有些现象的范围比较广，不可能对总体中的每个单元都进行测定。或者有些总体的单元数很多，不可能也没有必要进行一一测定。这就需要从总体中抽取一部分单位进行调查，进而利用样本提供的信息来推断总体的数字特征。例如，要检验一批炮弹的射程，由于测试是破坏性的，不可能对每一只灯泡都进行测试，只能抽取一部分炮弹进行测试，据此来推断整批炮弹的平均射程；某大学想要了解网上购物的大学生中女生所占的比例是多少，显然没有必要对所有大学生进行调查，而只要抽取一部分学生进行调查，进而根据样本所提供的网购女生比例来推断全校网购女生的比例；某知名大酒店推出了一个新的菜品，想要了解消费者是否喜欢该菜品，首先需要弄清楚该菜品的消费群体究竟是哪些人，即使弄清了消费对象，也不可能对每个消费者逐一进行调查，而只能进行抽样。这些例子表明，当总体的范围难以确定时，或者当总体的单元数很多时，或者对于破坏性试验，我们只能从中抽出一部分单位进行调查，以此来推断所研究的总体的状况。 由于随机现象的不确定性，令人把握不定，出现哪一个结果无法预料，但这只是对个别的观察而言，在大量重复的观察后，会发现随机现象呈现出一定的规律性，这种规律性我们称为随机现象的统计规律. 5.1.1概率抽样方法 抽样调查(sampling survey)是一种非全面的调查，指从研究对象的全体（总体）中抽取一部分单元作为样本，根据对所抽取的样本进行调查，获得有关总体目标量的了解。根据抽取的原则不同，抽样方法分为概率抽样和非概率抽样两种。概率抽样是指总体单元按照一定的概率被抽取出来，也就是说总体中哪个单元被抽中与否不取决于研究者的主观意愿，而是取决于概率。因此，哪个单元被抽中与否完全是随机的。非概率抽样则是研究人员有意识地选取样本单元，样本单元的抽取不是随机的。一般的抽样推断都是建立在概率抽样的基础上。因此，接下来主要介绍一些常用的概率抽样方法。 1. 简单随机抽样 定义5.1 按照等概率原则直接从含有N个元素的总体中随机抽取n个元素组成样本（N＞n），这样的抽样方式称为简单随机抽样（simple random sampling），抽出的样本称为简单随机样本（simple random sample）。 简单随机抽样有两种抽取元素的具体方法，即重复抽样和不重复抽样。 定义5.2 从总体中抽取一个元素后，把这个元素放回到总体中再抽取第二个元素，直至抽取n个元素为止，这样的抽样方法称为重复抽样。 定义5.3 从总体中抽取一个元素后不再放回总体，然后从剩下的元素中抽取第二个元素，直至抽取n个元素为止，这样的抽样方法称为不重复抽样。 实现简单随机抽样的常用方法有抽签、随机数字表等。 2. 分层抽样 定义5.4 将总体中的所有单元按照某种特征或标志划分为若干类型或层次，在每个类型或层次中采用简单随机抽样或系统抽样的方法抽取一个子样本，共同构成研究的样本。这样的抽样方式称为分层抽样（stratified sampling），也称为类别抽样。 在分层抽样中，应使层内各元素的差异尽可能小，而使层间的差异尽可能大。各层的划分可根据研究者的判断或研究的需要进行。比如，研究对象是在校大