[第6讲三角函数图象与性质教师.doc

专题 2　三角函数与平面向量 三角函数作为基本初等函数,它是周期函数模型的典范,这部分内容概念、公式较多,知识点琐碎繁杂,需要强化记忆,要把握三角函数图象的几何特征,灵活应用其性质.平面向量具有几何与代数形式的双重性,是知识网络的重要交汇点,它与三角函数、解析几何、平面几何等都有一定的联系,要给予高度的重视. 江苏近三年高考三角函数与平面向量的试题,一般是两到三个小题和一个大题;解答题一般都为基础题,处在送分题的位置;而在两个到三个小题中,08年和09年有一个较容易,而另一个为中档题,2010年15,17题出了两个有关三角函数和向量的解答题,且位置靠前,所以填空题的难度相对加大,但整体得分与往年相比没有大的变化.从近三年高考命题来看,平面向量的数量积,正余弦定理的运用,三角函数的图象和性质,尤其是三角函数的周期、最值、单调性、图象变换、特征分析(对称轴、对称中心)和三角函数式的恒等变形等仍是命题热点. 预计2011年高考本专题的命题方向是: ①考小题,重在基础:有关三角函数的小题,其考查的重点在于基础知识:解析式、图象及图象变换、两域(定义域、值域)、四性(单调性、奇偶性、对称性、周期性)以及简单的三角变换(求值、化简及比较大小).有关平面向量的小题,其考查重点仍会是数量积及相关运算. ②考大题,重在本质:有关三角函数和平面向量的大题即解答题,通过公式变形、转换来考查思维能力的题目已经没有了,而是考查基础知识、基本技能和基本方法. ③考应用,融入三角形之中:这种题型既能考查解三角形的知识与方法,又能考查运用三角公式进行恒等变换的技能,故近年来倍受命题者的青睐.主要解法是充分利用三角形的内角和定理、正(余)弦定理、面积公式等,并结合三角公式进行三角变换,从而获解. ④考综合,体现三角向量的工具和传接作用:由于近年高考命题突出以能力立意,加强对知识综合性和应用性的考查,故常常在知识的交汇点处命题.因而对三角向量有时会综合在一起来考查.但与其他知识交汇的可能性不大. 第6讲 三角函数的图象与性质 一.瞄准高考 1.任意角的三角函数 (1)设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么sin α=y,cos α=x,tan α=. (2)各象限角的三角函数值的符号:一全正,二正弦,三正切,四余弦. 2.诱导公式:奇变偶不变,符号看象限. 3.同角三角函数基本关系式:sin2α+cos2α=1,tan α=(cos α≠0). 4. 函数y=Asin(ωx+φ)(A0,?0)的性质 ①定义域;②值域;③周期性;④单调性;⑤对称性. 5.函数y=Asin(ωx+φ)的图象 (1)“五点法”作图; (2)图象变换. 二.解析高考 题型一　三角函数的概念、诱导公式及基本关系式的应用 例1 如图在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边作两个锐角α、β,它们的终边分别与单位圆交于A、B两点,已知A、B的横坐标分别为、. (1)求tan(α+β)的值; (2)求α+2β的值. 【思维启迪】根据任意角三角函数的定义cos α=不难得到cos α、cos β的值,利用同角三角函数可求sin α、sin β、tan α、tan β的值,进而利用和角公式求tan(α+β)的值. 注意到第(2)问相当于“给值求角”问题,除注意到“角的变换”:α+2β=(α+β)+β外,还应注意该类问题求解的一般程序. 【解答】　(1)由已知条件及三角函数的定义可知,cos α=,cos β=. 因为α为锐角,故sin α0,从而sin α==.同理可得sin β=.因此tan α=7,tan β=. 所以tan(α+β)===－3. (2)tan(α+2β)=tan[(α+β)+β]===－1, 又0α,0β,故0α+2β, 从而由tan(α+2β)=－1得α+2β=. 【探究提高】 本题考查三角函数的基本概念、三角函数的基本关系式、两角和的正切、二倍角的正切公式,考查考生的运算求解能力.根据三角函数的定义,本题所给的两个横坐标实际上就是α、β的余弦值,又由于这两个角都是锐角,由同角三角函数的关系式就可以求出这两个角的正切,剩下的问题就是代入公式计算了. 【变式】已知点P(sin,cos)落在角θ的终边上,且θ∈[0,2π),则θ的值_______. 【解析】　tan θ===－1,又sinπ0,cosπ0,∴θ为第四象限角且θ∈[0,2π),∴θ=, 题型二 三角函数的图象与解析式 例2 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B (A0,ω0,0≤φ2π)在同一周期内有最高点(,1)和最低点(,－3). (1)求函数y=f(x)的解析式; (2)画出函数y=f(x)在区间[0,π]上的图象. 2x+ π 2π x 0 π