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第8讲：抛物线，双曲线 【知识整合】 一、双曲线 双曲线的定义 第一定义：平面内与两定点的距离的差的绝对值是常数（小于）的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距，。 若，则M点无轨迹 若，则M点的轨迹为以焦点为端点（向两端点出发）的两条射线。 第二定义：平面内到定点F的距离和它到定直线（）的距离的比是常数 （）的点M的轨迹就是双曲线。定点F为双曲线的一个焦点，定直线是双曲线的相应于这个焦点的准线，常数是双曲线的离心率。 双曲线的标准方程 双曲线的第一种类型的标准方程 取过焦点的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，设焦距，为双曲线上任一点，而后满足的点M的轨迹方程就是 这里的坐标为。 这个方程称为焦点在轴上的双曲线的标准方程 双曲线的第二种类型的标准方程 如果双曲线的焦点在轴上，焦点的坐标为，点M满足，那么点M的轨迹方程就是 这个方程称为焦点在轴上的栓曲线的标准方程，其中。 双曲线的几何性质 范围：对于，；对于，。 对称性：双曲线的方程和的图形是关于轴、轴的轴对称图形，是关于原点成对称中心的图形，轴、轴称为对称轴，原点称为对称中心。 顶点：双曲线与轴的交点称为顶点；的顶点为，线段称为双曲线的实轴，实轴长 对于双曲线和点，线段称为双曲线的虚轴，虚轴长。 双曲线的虚轴的端点为 双曲线的交点永远在实轴上。 渐近线：双曲线有两条渐近线。 双曲线的渐近线方程为，也可以写成 双曲线的渐近线方程为，也可以写成 离心率： 双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，通常用表示，即 焦半径： 对于双曲线上的一点： M在右支上，焦半径； M在左支上，焦半径。 对于焦点在轴上的双曲线 在下支上，焦半径为 M在上支上，焦半径为 准线： 双曲线的准线方程为；双曲线的准线方程。 等轴双曲线 实轴、虚轴的长相等的双曲线称为等轴双曲线。焦点在轴上，标准方程为；焦点在轴上，标准方程，渐近线的方程。离心率。 以坐标轴为渐近线的双曲线的方程为。 共轭双曲线 以已知双曲线的虚轴为实轴、实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线，其实，它们是互为共轭的。 互为共轭的两条双曲线和有相同的渐近线，它们的四个焦点共圆，且它们的离心率，满足 二、抛物线 抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线，其中定点F不在定直线上。 抛物线的几何性质： 标准方程 图形 性 质 开口方向 向右 向左 向上 向下 范围 对称轴 轴 轴 顶点 原点 焦点 准线方程 离心率 焦半径 【典例精析】 求满足下列条件的双曲线的标准方程。 焦点为 焦点在轴上，焦距为8，且经过点 已知双曲线的渐近线方程为，求双曲线的离心率。 已知抛物线的顶点在原点，焦点在坐标轴上，又知此抛物线上一点到焦点F的距离为5，求的值，并写出此抛物线的方程。 若的顶点，且，求顶点Ｃ的轨迹方程。 若动圆与圆外切，又与直线相切，求动圆圆心的轨迹。 求适合下列条件的参数的值或范围。 已知，当为何值时，①方程表示双曲线？②表示焦点在轴上的双曲线？③表示焦点在轴上的双曲线？ 已知双曲线方程，焦距为6，求的值。 椭圆与双曲线有相同的焦点，求的值。 已知双曲线的右焦点为B，过点B作直线交双曲线C的右支与M，N两点，试确定的范围，使，其中O为坐标原点。 双曲线上的一点P与左、右两焦点构成的内切圆与边的切点坐标。 直线被双曲线截得的弦AB的长是4，的斜率为2，求的方程。 已知曲线与直线交于两点，且，记曲线C在点A和点B之间那一段L与线段AB所围成的平面区域（含边界）为D。设点是L上任一点，且点P与点A和点B均布重合。若点Q是线段AB的中点，试求线段PQ的中点M的轨迹方程。 【重点题型强化】 已知双曲线的渐近线的方程为 若双曲线经过，求双曲线方程； 若双曲线的焦距是，求双曲线方程。 点M到点的距离比它到直线的距离小1，试确定点M的轨迹。 设方程表示双曲线，求实数的取值范围。 已知点P是抛物线上的动点，点P在轴上的射影是Ｍ，点Ａ的坐标是，则当时，的最小值是　　　　　　。 已知动圆M与圆外切，与圆内切，求动圆圆心M的轨迹方程。 设分别为双曲线的左、右焦点。若在双曲线右支上存在点P，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则求该双曲线的渐近线方程。 过双曲线的右顶点A作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B，C，若，求双曲线的离心率。 已知是双曲线的两个焦点，P为双曲线右支上的一点，且满足，求的