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第七节抛物线 [知识能否忆起] 1．抛物线定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程与几何性质标准方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) 图形 范围 x≥0，yR x≤0，yR 对称轴 x轴 顶点坐标 原点O(0,0) 焦点坐标 准线方程 x＝－ x＝ 离心率 e＝1 标准方程 x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0) 图形 范围 y≥0，xR y≤0，xR 对称轴 y轴 顶点坐标 原点O(0,0) 焦点坐标 准线方程 y＝－ y＝ 离心率 e＝1 [小题能否全取] 1．已知抛物线的焦点坐标是(0，－3)，则抛物线的标准方程是(　　) A．x2＝－12y　　　　　　B．x2＝12yC．y2＝－12x D．y2＝12x 解析：选A　＝3，p＝6，x2＝－12y. 2．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值是(　　) A. B．－C．8 D．－8 解析：选B　抛物线的标准方程为x2＝y.则a＜0且2＝－，得a＝－. 3．已知倾斜角为60°的直线l通过抛物线x2＝4y的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，则弦AB的长为(　　) A．4 B．6C．10 D．16 解析：选D　设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则依题意得焦点F(0，1)，准线方程是y＝－1，直线l：y＝x＋1，由消去x得y2－14y＋1＝0，y1＋y2＝14，|AB|＝|AF|＋|BF|＝(y1＋1)＋(y2＋1)＝(y1＋y2)＋2＝16. 4．已知斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a＞0)的焦点F，且与y轴相交于点A，若OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为________． 解析：依题意得，|OF|＝，又直线l的斜率为2，可知|AO|＝2|OF|＝，AOF的面积等于·|AO|·|OF|＝＝4，则a2＝64.又a＞0，所以a＝8，该抛物线的方程是y2＝8x.答案：y2＝8x 5．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是________． 解析：其准线方程为x＝－2，又由点P到y轴的距离为4，则P点横坐标xP＝4，由定义知|PF|＝xP＋＝6.答案：61.抛物线方程中，字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离，等于焦点到抛物线顶点的距离，记牢对解题非常有帮助． 2．用抛物线定义解决问题，体现了等价转换思想的应用． 3．由y2＝mx(m≠0)或x2＝my(m≠0)求焦点坐标时，只需将x或y的系数除以4，再确定焦点位置． 抛物线的定义及应用 [例1]　(1)已知F是拋物线y2＝x的焦点，A，B是该拋物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为(　　)A.　　　B．1C. D. (2)在抛物线C：y＝2x2上有一点P，若它到点A(1,3)的距离与它到抛物线C的焦点的距离之和最小，则点P的坐标是(　　)A．(－2,1) B．(1,2)C．(2,1) D．(－1,2) [自主解答]　(1)如图，由抛物线的定义知，|AM|＋|BN|＝|AF|＋|BF|＝3，|CD|＝，所以中点C的横坐标为－＝. (2)由题知点A在抛物线内部，根据抛物线定义，问题等价于求抛物线上一点P，使得该点到点A与到抛物线的准线的距离之和最小，显然点P是直线x＝1与抛物线的交点，故所求P点的坐标是(1,2)． [答案]　(1)C　(2)B 由题悟法 涉及抛物线上的点到焦点(准线)的距离问题，可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线(焦点)的距离问题求解． 以题试法 1．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点．若|AF|＝3，则|BF|＝________. 解析：由题意知，抛物线的焦点F的坐标为(1,0)，又|AF|＝3，由抛物线定义知，点A到准线x＝－1的距离为3，点A的横坐标为2. 将x＝2代入y2＝4x得y2＝8，由图知，y＝2， A(2,2)，直线AF的方程为y＝2(x－1)． 又解得或 由图知，点B的坐标为，|BF|＝－(－1)＝.答案： 抛物线的标准方程及几何性质 [例2]　(1)已知双曲线C1：－＝1(a0，b0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py (p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为(　　) A．x2＝y　　　　　　B．x2＝yC．x2＝8y D．x2＝16y (2)已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|＝(　　)A．2 B．2C．4 D．2 [自主解答]　(