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第三章 随机变量的数字特征 本章要求 理解随机变量数字特征（数学期望、方差、标准差、协方差、相关系数）的概念；会计算一维、二维随机变量函数的数学期望。 本章重点 随机变量数字特征的计算；随机变量函数的数学期望的计算。 本章简述 上一章，我们对随机变量作了讨论,可知随机变量的概率分布能够完整的描述随机变量的统计规律性。而在实际问题中要确定一个随机变量的分布并不是一件容易的事，而且在许多具体问题中往往并不需要对随机变量作全部的了解，而只需知道它的某些特征就可以。例如，检查一批灯泡的质量，在一定条件下，只须看这批灯泡的使用寿命；又如，两批同型灯泡，平均寿命相同，如何鉴别那一批灯泡好些呢？这就要看每批灯泡寿命数分布的集中程度。由此可见，随机变量的某些特征是可以通过一个或几个数字来描述的，这种数字是按分布而定的，它们在一定程度上即可反映随机变量的分布情况，我们称这种用来反映随机变量特征的数字为数字特征。本章将介绍几个最常用的数字特征。 本章学时 6学时。 第一节 数 学 期 望 离散型、连续型随机变量的数学期望的概念利用实际生活中浅显易懂的例子，使学生了解随机变量均值（即数学期望）的概念，从而引入数学期望的严格定义。再通过示范例题使学生掌握常见分布的数学期望。之后导入函数的数学期望及性质。 一、离散型随机变量的数学期望 先看一个实际例子： 例1：甲、乙两选手各向目标靶射击十枪，二人命中靶子的情况分别为：(单位：环) 甲： 9 8 10 8 9 9 8 9 8 9 乙： 6 7 9 10 10 9 10 8 9 10 现问，甲、乙二人哪一个命中率更高点? 对于甲选手，命中环数的平均值为 对于乙选手，命中环数的平均值为 从平均值来看，乙选手比甲选手命中率更高些。 如果我们用随机变量的取值表示两选手命中的环数，则比较二人的命中率实际上是比较两随机变量平均值的大小。 可以看到，平均值实际上是以分布概率为权重的加权平均。 下面给出数学期望的严格定义。 定义 设离散型随机变量的分布列为 … … … … 如果级数绝对收敛，即收敛，则和为随机变量的数学期望或均值，记为，即 如果级数不绝对收敛，即不收敛，则称随机变量的数学期望不存在。 例2 对服从(0-1)分布的随机变量，其分布列为： 求的数学期望。 解： 由数学期望定义 。 例3 设～，求。 解： 已知二项分布的分布列为 则的数学期望为 例4 设服从参数为的泊松分布，求. 解： 已知泊松分布列为 从而 例5 设随机变量取值为的概率为，求的数学期望。 解 无穷级数 但是发散的，所以的数学期望不存在。 例6 某种奖券销售单位为提高大众购买奖券的兴趣，采用当众开奖的办法，每张奖券面值1元，每500万张设若干奖项如下： 类 别 个 数 奖品价值(元) 特等 1 1500 一等 10 500 二等 100 70 三等 1000 3 纪念 10000 0.5 试计算每购一张奖券平均能取多少奖金？ 解： 设某购买者得到的奖金数为，则为一随机变量，其分布列为 1500 500 70 3 0.5 0 从而的数学期望为 即平均每购一张奖券可能得到的奖金不到半分钱，但在实际生活中吸引力还是相当大的。 二、连续性随机变量的数学期望 定义 设为连续型随机变量,概率密度为,如果积分绝对收敛，即收敛，则称积分的值为连续型随机变量的数学期望或均值，记为。即。 反之,如果积分发散,则称随机变量的数学期望不存在。 例7 设服从区间上的均匀分布，求的数学期望。 解： 已知的概率密度为 从而 正好是区间的中点。 例8 设服从参数为的指数分布，求的数学期望。 解 已知的概率密度为 从而所