[第二章圆锥曲线教案抛物线的几何性质教案.doc

第二章? 圆锥曲线教案 抛物线的几何性质教案 教学目标 1．引导学生运用对比(同椭圆、双曲线)和类比(抛物线之间)的思想得到抛物线的几何性质． 2．使学生初步掌握有关抛物线问题的解题方法，培养学生严谨、周密的思考问题的能力及抽象概括能力． 3．通过对抛物线几何性质的探索，强化学生的注意力及新旧知识的联系，树立学生求真的勇气和自信心 教学重点与难点 得出抛物线几何性质的思维过程，掌握运用抛物线的几何性质去解决问题的方法． 教学过程 一、复习提问 师：我们已经学习了椭圆及双曲线的几何性质，请同学们回忆一下，是从哪几个方面研究的？ 生：研究了范围、对称性、顶点、离心率、渐近线几个问题． 师：在研究几何性质时，对曲线的方程有无限制？ 生：是在曲线的标准方程条件下研究的． (说明：课前印发如下表格，请同学填出椭圆、双曲线几何性质．在课上引导学生对比看，联想抛物线y2=2px的几何性质，再“类比看”填出y2=-2px及x2=±2py的几何性质．) ? 椭圆 双曲线 抛物线? 标 准方程 ＝1 (ab0) ＝1 (ab0) =1 (a0，b0) =1 (a0，b0) y2=2px (p0) ? ? 图象 ? ? ? ? ? ? ?? 范围 ? ? ?? 对称性 ? ? ?? 顶点 ? ? ?? 离心率 ? ? ?? 渐近线 ? ? ?? ?二、类比椭圆、双曲线得出抛物线的几何性质． 师：请同学们拿出课前发的表，你是怎样与椭圆、双曲线的几何性质相比较而得出抛物线的几何性质？ (说明：同学们讨论．) 师：对于方程y2=2px所示抛物线的范围，你是如何得出的？ 生：由p＞0可知，x的取值范围是x≥0，所以抛物线在y轴的右侧． 师：当x的值增大时，图象是如何变化的？ 生：当x的值增大时，|y|也增大，说明抛物线向右上方和右下方无限延伸． 师：由方程y2=2px，观察所表示的图象是对称图形吗？为什么？ 生：当以-y代y，方程y2=2px值不变，所以此抛物线关于x轴对称，即抛物线y2=2px的对称轴是x轴． 师：什么叫曲线的顶点？ 生：曲线与坐标轴的交点叫曲线的顶点． 师：抛物线y2=2px的顶点在什么位置？为什么？ 生：在方程y2=2px中，当x=0时，y=0，所以顶点在坐标原点． 师：(强调)在一个特殊位置． 师：抛物线y2=2px的离心率如何得到？ 生：由抛物线定义可知，离心率e=1． 师：与椭圆、双曲线的几何性质相比较，抛物线的几何性质又有何区别． (说明：让学生观察图象，总结特征．) 师：从抛物线位置上看． 生：抛物线的图象只位于半个坐标平面内． 师：有无渐近线？ 生：尽管抛物线也可以无限延伸，但没有渐近线． 生：(发现)抛物线只有一条对称轴，这条对称轴垂直于抛物线的准线． 又有学生指出，这条对称轴同顶点和焦点的连线重合． 师：很好！两种说法同样正确，只是从不同的角度观察问题得到的，结论是一致的． (鼓励学生继续观察) 生：抛物线只有一个顶点，它是焦点到准线距离的中点． 生：抛物线无中心． 师：[小结]同学们讨论得很好，抛物线的其它标准方程y2=-2px，x2=2py，x2=-2py也有类似的结论，它们的顶点都在坐标原点，一次项的变量如为x(或y)，则x轴(或y轴)是抛物线的对称轴，一次项的系数的符号决定抛物线的开口方向，正号决定开口方向和对称轴所在坐标轴的方向相同，负号决定开口方向和对称轴所在坐标轴方向相反． (说明：请同学们完成填表．) 师：在抛物线方程中，参数p对图象有何影响？我们不妨看抛物线 (计算机演示描点法作出以上3个图象．)(如图2-53．) 学生可直观看到p值越大，抛物线开口也越大．理由，对于同一个x值，它们对应的y值不同，p值大，|y|也大． 三、应用抛物线的几何性质，进一步探寻其特征． 例1? 用计算机打出(或投影仪打出)抛物线y2=2px的图象，且有一条过焦点垂直于对称轴的弦(如图2-54)． 生：这条弦很特殊． 师：抛物线中过焦点且垂直于对称轴的弦，叫抛物线的通径． 能否知道它的长度？ 生：(很快发现)这条通径的长为2p． 师：(追问)你是怎样得到的？ 生：分别过点A、B作准线l的垂线，垂足分别为D、C．(可由计算机演示出，或在投影片中画出)．由抛物线定义知|AF|=|AD|=p，|BF|=|BC|=p，所以|AB|＝|AF|+|BF|＝2p． 另有学生用不同方法： 因为A、B两点在抛物线上， 又|AB|=|y1-y2|＝2p． 师：小结两种不同的方法，方法一用抛物线定义得出，较简捷．方法二由解析法得出，这种解题思想很好． 师：引导学生观察，由方法一在图中看到，得到矩形ABCD(如图2-55)． 生：(反应出)这个矩形是由两个正方形AFED、BFE