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第二讲 极限 《数学分析》是以极限概念为基础，以极限理论为工具对函数进行研究的一门学科，研究了函数的连续性、可微性、可积性等性质。 一、极限思想 极限思想是近代数学的一种重要思想，所谓极限思想，是指用极限的概念分析问题和解决问题的一种数学思想。极限思想是《数学分析》的基本思想，《数学分析》中一系列重要概念，如函数的连续、导数、以及定积分等都借助于极限来定义的，可以这样说“数学分析就是用极限思想来研究函数的一门学科”。 极限思想的萌芽 刘徽的割圆术、古希腊人的穷竭法，16世纪荷兰数学家斯泰文借助集合直观，改进了古希腊人的穷结法，大胆应用极限思想思考问题。 极限思想的发展 极限思想的发展是与微积分的建立密切联系。社会背景：16世纪，资本主义萌芽，需要解决实际生产和技术问题，初等数学无法解决，要求数学提供一种新工具，用以描述和研究运动和变化的过程。 牛顿用极限思想研究瞬时速度：路程的改变量与时间的改变量之比表示运动物体的平均速度，让无限趋近于0，得到物体的瞬时速度。 莱布尼茨用极限的思想研究曲线的切线：（这在数学分析书介绍很详细）因此有这样一说：切线是割线的极限。 他们运用的极限概念，接近于极限的直观的语言描述：如果当无限增大时，无限地接近于常数，称数列以为极限。 这个描述，容易接受，但没有量化，就不能作为科学论证的逻辑基础，正因为如此，才受到了英国哲学家、大主教贝克莱对微积分的激烈攻击。 极限思想的完善 极限思想的完善与微积分的严格化联系在一起。解决“无穷小”在“零”与“非零”之间的转化经过了大约一个世纪的完善。 18世纪，罗宾斯、达朗贝尔、波尔查诺等人先后明确表示必须将极限作为微积分的基础，并各自对极限作出定义。 19世纪，法国数学家苛西在前人的基础上，比较完整地阐述了极限概念和极限理论，他在《分析教程》中把无穷小视为以“0”为极限的变量。这就澄清了无穷小“似0非0”的模糊认识。 魏尔斯特拉斯提出了极限的静态概念，即我们现在数学分析书上严格的极限概念：如果对任何，总存在正整数，当时，不等式成立，则称数列以为极限，记作 这个定义，借助不等式，通过与之间的关系，定量地、具体地刻画了两个无限过程“”之间的联系。这个定义也体现哲学中“静态”与“动态”有机地结合在一起。因此，这个定义是严格的，可以作为科学论证的基础。 极限思想的思维功能 极限思想在许多学科中有着广泛的应用，因为它揭示了变量与常量（动态与静态）、无限与有限的对立统一关系。借助极限思想，人们可以从有限认识无限，从“不变”认识“变”，从量变认识质变，从近似到精确。 无限与有限有本质的区别，比如对求和而言，有限个数的和是一般的代数和，而无限个数的和不是一般的代数和，而是将其定义为“部分和”的极限。 二、极限的概念与性质 1、数列极限 定义1（定义）——各类变形 定义2（邻域定义） 定义3（从集合角度），集合是有限集。 注意：1、定义3对理解上、下极限，子列的极限等概念非常有用； 2、定义3不能叙述为：集合是无限集。 2、数列极限的性质：唯一性、有界性、保号性、四则运算性质 3、函数极限 自变量，可为 函数，可为定常数， 两类定义（1、定义；2、邻域定义） 注意：1、函数（当时）的极限与函数是否在有函数值无关，换句话说，考虑函数（当时）的极限时不用考虑函数在这点的值，在考虑函数连续时才考虑函数在该点的值。 2、与数列极限有类似的性质，只不过（局部）有界、（局部）保号 三、极限的存在条件 一个函数或一个数列，其极限是否存在，它存在需要什么条件？在数学分析的研究中占有非常重要的地位，同时，也只有极限存在了，与极限有关的问题才能得以进一步讨论。 迫敛性（数列、函数） 单调有界性（数列） 苛西准则（数列、函数）——由对偶原则：不收敛 归结原理——数列极限与函数极限之间的联系 例1证明数列收敛。 注意：，这是一个重要极限，证明该数列收敛的方法很多。 证法1 先证明：设，，有（1） （用拉格朗日中值定理） 由（1）有 ， （2） 令，代入（2）得 故数列为单调增加数列。 又令，代入（2）得 从而数列有界，由单调有界原理知数列收敛。 证法2（利用均值不等式：， 等号成立的充分必要条件是） 对任意的正整数，由均值不等式 从而 故数列为单调增加数列。 又 于是，故数列有界，由单调有界原理知数列收敛。 证法3（用Bernoulli不等式：，等号成立的充分必要条件是）令，则 故数列为单调增加数列。 又 从而，故数列有界，由单调有界原理知数列收敛。 证法4（利用确界原理）先证不等式 事实上，由均值不等式，. 固定不等式中的一个，表明数列有上界，由确界定理，有上确界 于是， 故 由迫敛性 证法5（用初等方法） 将展开逐项比较，可证得数列单调有界。 例2证