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空间向量与立体几何 【知识要点】 1．空间向量及其运算： (1)空间向量的线性运算： ①空间向量的加法、减法和数乘向量运算：平面向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则拓广到空间依然成立． ②空间向量的线性运算的运算律： 加法交换律：a＋b＝b＋a； 加法结合律：(a＋b＋c)＝a＋(b＋c)； 分配律：(??＋??)a＝??a＋??a；??(a＋b)＝??a＋??b． (2)空间向量的基本定理： ①共线(平行)向量定理：对空间两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数??，使得a∥??b． ②共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则向量c与向量a，b共面的充要条件是存在惟一一对实数??，??，使得c＝??a＋??b． ③空间向量分解定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在惟一的有序实数组??1，??2，??3，使得p＝??1a＋??2b＋??3c． (3)空间向量的数量积运算： ①空间向量的数量积的定义：a·b＝|a｜|b｜cos〈a，b〉； ②空间向量的数量积的性质： a·e＝|a｜cos＜a，e＞；a⊥ba·b＝0； |a|2＝a·a；|a·b|≤|a｜|b｜． ③空间向量的数量积的运算律： (??a)·b＝??(a·b)； 交换律：a·b＝b·a； 分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c． (4)空间向量运算的坐标表示： ①空间向量的正交分解：建立空间直角坐标系Oxyz，分别沿x轴，y轴，z轴的正方向引单位向量i，j，k，则这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底{i，j，k｝，由空间向量分解定理，对于空间任一向量a，存在惟一数组(a1，a2，a3)，使a＝a1i＋a2j＋a3k，那么有序数组(a1，a2，a3)就叫做空间向量a的坐标，即a＝(a1，a2，a3)． ②空间向量线性运算及数量积的坐标表示： 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)；a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)； ??a＝(??a1，??a2，??a3)；a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3． ③空间向量平行和垂直的条件： a∥b(b≠0)a＝??ba1＝??b1，a2＝??b2，a3＝??b3(??∈R)； a⊥ba·b＝0a1b1＋a2b2＋a3b3＝0． ④向量的夹角与向量长度的坐标计算公式： 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 在空间直角坐标系中，点A(a1，a2，a3)，B(b1，b2，b3)，则A，B两点间的距离是 2．空间向量在立体几何中的应用： (1)直线的方向向量与平面的法向量： ①如图，l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，对空间任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得，其中向量a叫做直线的方向向量． 由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一确定． ②如果直线l⊥平面??，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面??的法向量． 由此可知，给定一点A及一个向量a，那么经过点A以向量a为法向量的平面惟一确定． (2)用空间向量刻画空间中平行与垂直的位置关系： 设直线l，m的方向向量分别是a，b，平面??，??的法向量分别是u，v，则 ①l∥ma∥ba＝kb，k∈R； ②l⊥ma⊥ba·b＝0； ③l∥??a⊥ua·u＝0； ④l⊥??a∥ua＝ku，k∈R； ⑤??∥u∥vu＝kv，k∈R； ⑥??⊥??u⊥vu·v＝0． (3)用空间向量解决线线、线面、面面的夹角问题： ①异面直线所成的角：设a，b是两条异面直线，过空间任意一点O作直线a′∥a，b′∥b，则a′与b′所夹的锐角或直角叫做异面直线a与b所成的角． 设异面直线a与b的方向向量分别是v1，v2，a与b的夹角为??，显然则 ②直线和平面所成的角：直线和平面所成的角是指直线与它在这个平面内的射影所成的角． 设直线a的方向向量是u，平面??的法向量是v，直线a与平面??的夹角为??，显然 ，则 ③二面角及其度量：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．记作??－l－??在二面角的棱上任取一点O，在两个半平面内分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB叫做二面角??－l－??的平面角． 利用向量求二面角的平面角有两种方法： 方法一： 如图，若AB，CD分别是二面角??－l－??的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角??－l－??的大小就是向量的夹角的大小． 方法二： 如图，m1，m2分别是二面角的两个半平面??，??的法向量，则〈m1，m2〉与该二面角的大小相等或互补． (4)根据题目特点，同学们可以灵活选择运用向量方法与综合方法，从不同角度解决立体几何问题． 1、线线平行的判断：