[第八章8.2双曲线.doc

8.2 双曲线 巩固·夯实基础 一、自主梳理 1.双曲线的定义 第一定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值是常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距. 即||MF1|-|MF2||=2a(|F1F2|). M为动点，F1、F2为定点，a为常数. 第二定义：平面内到定点F的距离和到定直线的距离的比等于常数(大于1)的点的轨迹叫做双曲线，即=e(e1). F为直线l外一定点，动点到定直线的距离为d，e为大于1的常数. 2.双曲线的标准方程与几何性质 标准方程 -=1(a0,b0) -=1(a0,b0) 简图 中心 O(0,0) O(0,0) 顶点 A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,a),A2(0,-a) 范围 |x|≥a |y|≥a 焦点 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c) 准线 x=± y=± 渐近线 y=±x y=±x 3.焦半径公式 M(x0,y0)为-=1右支上的点，则|MF1|=ex0+a，|MF2|=ex0-a. 链接·拓展 (1)当M(x,y)为-=1左支上的点时,|MF1|=-(a+ex),|MF2|=ex-a. (2)当M(x,y)为-=1上支上的点时，|MF1|=ey0+a，|MF2|=ey0-a. 二、点击双基 1.(2004北京春季高考)双曲线-=1的渐近线方程是（ ） A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x 解析：由双曲线方程可得焦点在x轴上,a=2,b=3. ∴渐近线方程为y=±x=±x. 答案：A 2.过点(2，-2)且与双曲线-y2=1有公共渐近线的双曲线方程是（ ） A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 解析：可设所求双曲线方程为-y2=λ，把(2，-2)点坐标代入方程得λ=-2. 答案：A 3.如果双曲线-=1上一点P到它的右焦点的距离是8，那么P到它的右准线的距离是 （ ） A.10 B. C.2 D. 解析：利用双曲线的第二定义知P到右准线的距离为=8×=. 答案：D 4.与圆A:(x+5)2+y2=49和圆B：(x-5)2+y2=1都外切的圆的圆心P的轨迹方程为___________ ____________________________. 解析：利用双曲线的定义. 答案：-=1(x＞0) 5.已知圆C过双曲线-=1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是. 解析：由双曲线的几何性质易知圆C过双曲线同一支上的顶点和焦点，所以圆C的圆心的横坐标为4.故圆心坐标为(4,±).易求它到中心的距离为. 答案： 诱思·实例点拨 【例1】 求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦距为16，准线方程为y=±; (2)虚轴长为12，离心率为; (3)顶点间的距离为6，渐近线方程为y=±x. 剖析：要求双曲线的标准方程，首先判断其焦点所在的坐标轴，然后求其标准方程中待定的a和b. 解：(1)由准线方程为y=±，可知双曲线的焦点在y轴上. 设所求双曲线的方程为 -=1(a0,b0). 由题意，得解得a=6,c=8. 所以b2=c2-a2=64-36=28. 因此，所求双曲线的方程为-=1. (2)当焦点在x轴上时，设所求双曲线的方程为-=1. 由题意，得 解得b=6,c=a. ∴b2=c2-a2=a2=36,a=8. 所以焦点在x轴上的双曲线的方程为-=1. 同理可求焦点在y轴上的双曲线的方程为-=1. 因此，所要求的双曲线的方程为-=1和-=1. (3)方法一：当焦点在x轴上时，设所求双曲线的方程为-=1. 由题意，得解得a=3,b=. 所以焦点在x轴上的双曲线的方程为-=1. 同理可求焦点在y轴上的双曲线的方程为-=1. 因此所求双曲线方程为-=1或-=1. 方法二：设双曲线方程为-=λ(λ≠0). 当λ0时，2=6,∴λ=.此时双曲线的方程为-=1. 当λ0时，2-=6,∴λ=-1.此时双曲线方程为-=1. 讲评：本题考查双曲线方程，关键是求a、b,在解题过程中应熟悉各元素(a、b、c、e及准线)之间的关系，并注意方程思想的应用.若已知双曲线的渐近线方程ax±by=0，