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第八章圆锥曲线 　　掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质了解圆锥曲线的初步应用 1抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线． 2抛物线的图形和性质： ①顶点是焦点向准线所作垂线段中点。 ②焦准距： ③通径：过焦点垂直于轴的弦长为。 ④顶点平分焦点到准线的垂线段：。 ⑤焦半径为半径的圆：以P为圆心、FP为半径的圆必与准线相切。所有这样的圆过定点F、准线是公切线。 ⑥焦半径为直径的圆：以焦半径 FP为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切。所有这样的圆过定点F、过顶点垂直于轴的直线是公切线。 ⑦焦点弦为直径的圆：以焦点弦PQ为直径的圆必与准线相切。所有这样的圆的公切线是准线。 3抛物线标准方程的四种形式： 4抛物线的图像和性质： ①焦点坐标是：， ②准线方程是：。 ③焦半径公式：若点是抛物线上一点，则该点到抛物线的焦点的距离（称为焦半径）是：， ④焦点弦长公式：过焦点弦长 ⑤抛物线上的动点可设为P或或P 5一般情况归纳： 方程 图象 焦点 准线 定义特征 y2=kx k0时开口向右 (k/4,0) x= ─k/4 到焦点(k/4,0)的距离等于到准线x= ─k/4的距离 k0时开口向左 x2=ky k0时开口向上 (0,k/4) y= ─k/4 到焦点(0,k/4)的距离等于到准线y= ─k/4的距离 k0时开口向下 题型讲解 例1 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程： （1）过点（－3，2）； （2）焦点在直线x－2y－4=0上 分析：从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数p；从实际分析，一般需确定p和确定开口方向两个条件，否则，应展开相应的讨论 解：（1）设所求的抛物线方程为y2=－2px或x2=2py（p＞0）， ∵过点（－3，2）， ∴4=－2p（－3）或9=2p·2 ∴p=或p= ∴所求的抛物线方程为y2=－x或x2=y，前者的准线方程是x=，后者的准线方程是y=－ （2）令x=0得y=－2，令y=0得x=4， ∴抛物线的焦点为（4，0）或（0，－2）当焦点为（4，0）时，=4， ∴p=8，此时抛物线方程y2=16x； 焦点为（0，－2）时，=2， ∴p=4，此时抛物线方程为x2=－8y ∴所求的抛物线的方程为y2=16x或x2=－8y， 对应的准线方程分别是x=－4，y=2 点评：这里易犯的错误就是缺少对开口方向的讨论，先入为主，设定一种形式的标准方程后求解，以致失去一解 例2 如下图所示，直线相交于点M,,点,以A、B为端点的曲线段C上的任一点到 的距离与到点N的距离相等若为锐角三角形,,建立适当的坐标系,求曲线段 C的方程 分 析：由题意所求曲线段是抛物线的一部分，求曲线方程需建立适当的直角坐标系，设出抛物线方程，由条件求出待定系数即可，求出曲线方程后要标注x、y的取值范围 解: 以MN中点为原点,MN所在直线方程为x轴建立直角坐标系,设曲线方程为 由得: , 又, , 解得 由锐角为三角形, , , 又 故所求曲线方程为: 点评：本题体现了坐标法的基本思路，考查了定义法、待定系数法求曲线方程的步骤，综合考查了学生分析问题、解决问题的能力 例3 设抛物线y2=2px（p0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴证明直线AC经过原点O 分析：证直线AC经过原点O，即证O、A、C三点共线，为此只需证kOC=kOA本题也可结合图形特点，由抛物线的几何性质和平面几何知识去解决 证法一：设AB：x=my+，代入y2=2px，得y2－2pmy－P2=0 由韦达定理，得yAyB=－p2， 即yB=－ ∵BC∥x轴，且C在准线x=－上， ∴C（－，yB） 则kOC====kOA 故直线AC经过原点O 证法二：如图，记准线l与x轴的交点为E，过A作AD⊥l，垂足为D 则AD∥EF∥BC连结AC交EF于点N， 则==，= ∵|AF|=|AD|，|BF|=|BC|， ∴|EN|===|NF|， 即N是EF的中点从而点N与点O重合，故直线AC经过原点O 点评：本题的“几何味”特别浓，这就为本题注入了活力在涉及解析思想较多的证法中，关键是得到yA·yB=－p2这个重要结论还有些证法充分利用了平面几何知识，这也提醒广大师生对圆锥曲线几何性质的重视，也只有这样才能挖掘出丰富多彩的解析几何的题目 例4 已知抛物线y2=8x上两个动点A、B及一个定点M（x0, y0），F是抛物线的焦点，且|AF|、|MF|、|BF|成等差数列，线段AB的垂直平分线与x轴交于一点N （1）求点N的坐标（用x0表示）； （2）过