第10讲 立体图形w.doc

第10讲 立体图形 知识方法扫描 我们所在的世界，是一个丰富多彩的图形世界.概括起来，图形可以分为立体图形和平面图形.对于立体图形的问题，我们要逐步学会将它们转化成平面图形的问题来解决，它包括： 1．展开与折叠 将一个立体图形的表面展开，就得到了一个平面图形；反过来，将一个平面图形折叠起来，就得到一个立体图形。我们既要会将一个立体图形展开得到它的各个面，也要会将一个平面图形折叠起来，想象出它的立体形状。 2．立体的切割 用一个平面去切割立体图形，会得到不同的形状的平面图形。此外，将一个立体图形按不同的要求分割成一些小的立体图形，也是我们要探讨的内容。 3．从不同方向看 从不同的方向看一个立体图形，看到的形状是不相同的.我们既要会从一个给定的立体图形想象出从不同方向看它时的不同形状；也要会从不同方向看它时的不同形状（三视图）想象出这个几何图形来. 经典例题解析 例1. （2004年第二届“创新杯”数学邀请赛初二试题） 由若干个单位立方体组成一个较大的立方体，然后把这个大立方体的某些面上涂上油漆，油漆干后，把大立方体拆开成单位立方体，发现有45个单位立方体上任何一面都没有漆。那么大立方体被涂过油漆的面数是（ ） （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 解. 设大立方体棱长为n, 显然n＞3。 若n＝6, 即使六面都油漆过, 未油漆的小方块也有43＝64个,大于45。 故n＝4或5. 除掉已油漆的单位立方体后, 剩下未漆的构成一个长方体, 设其和长宽高为a, b, c, 则abc＝45, 且a, b, c≤5, 故只能是3×3×5＝45, 即n＝5, 它的四个面油漆过. 故选D。 例2 （第1届华罗庚金杯少年数学邀请赛试题） 如下图所示，剪一块硬纸片可以做成一个多面体的纸模型（沿虚线折，沿实线粘）.这个多面体的面数、顶点数和棱数的总和是多少？ 解：从展开图可以看出，粘合后的多面体有12个正方形和8个三角形，共20个面. 　　这个多面体上部的中间是一个正三角形，这个正三角形的三边与三个正方形相连，这样上部共有9个顶点，下部也一样.因此，多面体的顶点总数为 9×2=18（个）. 　　在20个面的边中，虚线有19条，实线有34条.因为每条虚线表示一条棱，两条实线表示一条棱，所以多面体的总棱数为　　19＋34÷2=36（条）. 综上所述，多面体的面数、顶点数和棱数之和为20+18＋36＝74. 评注：关于多面体的顶点数（V），棱数（E），面数（F），数学家欧拉曾给出一个公式（欧拉公式）：V＋F-E＝2. 根据欧拉公式，知道上例多面体的面数和顶点数之后，棱数便可求得：E=V＋F-2=20＋18-2=36（条）. 例3（1997年“希望杯”全国数学邀请赛试题） 将27个大小相同的小正方体组成一个大正方体，现将大正方体各面上的某些小方格涂上黑色，如图所示，而且上与下、前与后、左与右相对两个面上的涂色方式相同，这时，至少有一个面上涂有黑色的小正方体的个数是（ ） （A） 18 （B） 20 （C） 22 （D） 24 解 从图中可以看出大正方体正面中心的一个小正方体，以及它后面的两个小正方体（共3个）没有被涂黑，顶面中间一排左右两个小正方体，及其地面相对应的两个小正方体没有被涂黑。总共有7个小正方体没有被涂黑。其余20个小正方体至少有一面被涂黑了。 故选B. 例4（2005年台湾第三届JHMC国中数学竞赛试题） 有五个相同的正立方体，按相同的顺序在每个面上写上数字1,2,3,4,5,6。将这些正立方体排列如下图，试求号码2对面写的数字。 解 从图中可以看出，5与2，4，3，6相邻，所以5的对面是1；从而6与1相邻，但由图中又可看出：6与4，3，5相邻；所以6的对面是2. 例5（2005年第3届“创新杯”数学邀请赛试题） 用同样大小的正方体木块搭建的几何体,从正面看到的平面图形如图1所示；从上面看到的平面图形如图2所示. 图1 图2 ?(1)如果搭建的几何体由9个小正方体木块构成,试画出左面看这个几何体所得到的所有可能的平面图形 ?(2)这样的几何体最多可由几块小正方体构成？并在所用木块最多的情况下,画出从左面看到的所有可能的平面图形. 解：?(1)在图2的六个小正方形内,分别填入适当的正整数,用它们分别表示在该处的正方体的个数,结合1的要求,有两种填法： 由上二图知,从左面看这个几何体所得的平面；图形有两种可能： ?(2)用?(1)中的方法,在图2的六个正方形中分别填上适当的正整数,结合图1,显然所填的六个正整数之和最大为11?(如下图) 故这样的向何体