第2章 质点组力学.doc

第二章 质点组力学 §2.1 质点组 （1）质点组的内力和外力 1.质点组（又称质点系）： 若干有相互作用的质点的集合。 2.内力与外力： 内力——质点组中质点间的相互作用； 外力——质点组外物体与组内任一质点的作用力。 3.内力所满足的运动定律： 牛顿第三定律：，。 牛顿第二定律。 4.孤立系（闭合系）： 不受任何外力的质点组。 5.质点组与独立质点集的区别： 犹如绳子（或刚体）与沙子。 （2）质心 1.质心概念的必要性： ① 逐个对质点加以描述和研究的方法，原则上可用，但得出的是方程数目庞大的二阶微分方程组，难以解算； ② 况且内力一般是未知量从而问题更复杂。 2.质点组研究方法： 从整体上去把握质点组，但不是利用统计方法，而是以点代体，即寻找一个与“整体”等当的特殊点（或说代表点）——质心来研究。 3.质点组质心的定义： 相应的分量形式为 ， ， 。 对于连续体的质心，上述公式中的和号应改为积分： ， ， 。 当密度为常数时，质心几何中心；当重力加速度为常矢量时，质心重心。 4.命题： 对于只有两质点1和2组成的质点组而言，其质心位置在1与2这两点连线上，质心与质点1、2的距离反比于质点1、2的质量。 §2.2 动量定理与动量守恒律 （1）动量定理 设质点组由个质点组成，其中任一质点的质量设为，它对惯性参照系坐标原点的位矢为，作用在质点上诸力的合力为，对质点组而言，该合力又分为合内力及合外力（上标i和e，分别取自英文interior和exterior的首字母）。 应用牛顿第二定律，质点有运动微分方程 ，（） 将这个方程加和起来有 由上一节根据牛顿第三定律已知合内力为，于是上式变为 对此式左边可进一步改写为 式中是质点组的动量。所以 。 总之，将质点组中每一质点的微分方程加和，且考虑到内力总和为零，得质点组的动量定理： 式中。 【注】：更普遍的推导是直接使用质点的动量定理[参见：中山大学数学力学系力学教研室，《力学教程》，人民教育出版社，1978]： 对于系统中的每一个质点因有动量定理 ，（） 把所有这些方程相加得 其中，表示质点组的总动量。那么有 。 (A) 假如我们承认质点组的内力之和的条件，则有质点组的动量定理： 。 (B) 现在来补充说明这一条件。①.首先，我们这里不能根据牛顿第三定律来提供这一条件。因为如果承认牛顿第三定律，则当然可以由（A）式得到（B）式，但是这就违背了我们在这里进行注解的初衷：我们原本就是想撇开牛顿去得出（B）；其次，第一章中已指出，牛顿第三定律实际是一个关于力的性质的很强的假设，不是一个物理上普遍的定律,物理学中有些力并不符合这个定律（例如洛仑兹力）；另外，第一章中我们还指出，就现今物理学的观点看，牛顿第三定律所说的“相互作用是同时的”值得怀疑，它隐含着力的超距作用机制在内，这是第三定律用到近代物理中遇到的又一个困难。实际上力并不能即时跨越空间发生作用，而是以不大于光速的有限速率传递的。②.迄今为止，人们发现对于一个孤立的系统（即没有受到外力作用的系统），动量都守恒，也就是说，一系统即使不服从牛顿定律，但只要是孤立的，动量守恒定律仍成立。所以，动量守恒定律可以不依赖于牛顿第三定律而独立存在，而且是比牛顿定律更为基本的（或说更为普遍的）物理规律。质点组的动量守恒律可以被表为：如果作用于质点组的总外力为零，则质点组的总动量不变，而不论内力是多么复杂地相互作用着（注意这里动量守恒是针对整个质点组来说的，至于组内各个质点的动量则因各自所受到的内力和外力之和未必也是零而不守恒）。这样就可以由动量守恒律得出上述内力之和为0即这一条件来（也许有人会问：当总合外力为零时的确可以由动量守恒律以及（A）式推出条件来，但当总合外力不为零时动量不守恒，就无从使用动量守恒律了呀？其实这需要注意另一个不论是动量定理还是动量守恒律都已隐含着的关于主动力的条件，即我们这里所说的外力与外力、内力与外力（包括总合内力与总合外力）之间都应是相互独立而不关联的。总不至于认为“当总合外力为零时总合内力为零而总合外力不为零时总合内力也不为零”吧？！果如此的话，那么对于质点组中的任一个质点而言，由于内力也算属于是外力，启不意味着这质点所受到的某些外力（即外部主动力）之间会是“共存亡”的？其实这里的道理就如同微分方程由独立的初始条件可确定积分常数那样）。③.那么动量守恒律与动量定理是什么关系？是不是动量守恒律又比动量定理更基本呢？不是的。其实