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第六章 4.双曲线的简单几何性质 我们依照研究椭圆的简单几何性质的方法和步骤来研究双曲线的简单几何性质。 对于双曲线(a＞0,b＞0)的几何性质 （一）范围，|x|≥a,即x≥a,x≤-a 由标准方程可知与一个非负数的差等于1，所以≥1，由此推得x的范围. y除受到式子本身的制约外，没有任何限制，说明双曲线位于x≥a与x≤-a的区域内. （二）对称性：双曲线关于坐标轴、原点都是对称的，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，即双曲线的中心. 讨论方法是以-y代y，方程不变，所以双曲线关于x轴对称；以-x代x，方程不变，所以双曲线关于y轴对称；同时以-y代y，以-x代x，方程不变，所以双曲线关于原点对称. （三）顶点：只有两个，即（±a,0）. 讨论方法是令y=0,得x=±a,因此双曲线和它的一条对称轴——x轴有两个交点 A1（－a,0），A2(a,0)，所以双曲线的顶点是（±a,0）. 令x=0时，解得y2=-b2,无实数解，说明双曲线与它的另一条对称轴——y轴没有交点，故双曲线顶点只有两个. 注意：双曲线(a＞0,b＞0)与y轴没有交点，但我们也把B1（0，－b),B2（0，b）画在y轴上. 线段A1A2叫做双曲线的实轴，线段B1B2叫做双曲线的虚轴，实轴的长为2a,虚轴的长为2b，a是实半轴的长，b是虚半轴的长，焦点始终在实轴上. （四）离心率：双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率.e=且e∈(1,+∞)，这是因为c＞a＞0. （五）渐近线：经过A2、A1作y轴的平行线x=±a,经过B2、B1作x轴的平行线y=±b，这四条直线围成一个矩形，矩形的两条对角线所在的直线的方程是y=±x，从图中可以看出，双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近. 证明： 先取双曲线在第一象限的部分进行证明，这一部分的方程可写成y=(x＞a) 设M（x,y）是它上面的点，N（x,y）是直线y=x上与M有相同横坐标的点，则y=x ∵y== ∴|MN|=Y－y= ∴|MN|= ∴|MN|= 设|MQ|是点M到直线y=x的距离，则|MQ|＜|MN|，当x逐渐增大时，|MN|逐渐减小，x无限增大，|MN|接近于0，|MQ|也接近于0，就是说，双曲线在第一象限部分从射线ON的下方逐渐接近于ON. 在其他象限内，也可以证明类似的情况. 我们把两条直线y=±x叫做双曲线的渐近线. 【注1】等轴双曲线 在方程中，如果a=b，那么双曲线的方程为x2－y2=a2,它的实轴和虚轴的长都等于2a，这时四条直线x=±a,y=±a围成正方形.渐近线方程为y=±x，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角，实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线. 【注3】离心率与双曲线的张口的大小 有了双曲线的渐近线，我们再来讨论离心率对双曲线张口大小的影响，就方便了. 由等式c2－a2=b2可得 由上式可以看出，e越大，也越大，即渐近线y=±x的斜率的绝对值越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔，由此可知，双曲线的离心率越大，它的张口就越大. 例题讲解 求双曲线9y2－16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐. 解：把方程化为标准方程：. a=4，虚半轴长b=3. . 焦点的坐标是（0，－5），（0，5）. 离心率. 渐近线方程为 ，即. 设椭圆与双曲线有共同焦点F1(─4,0),F2(4,0), 并且椭圆长轴长是双曲线实轴长的2倍，试求椭圆与双曲线的交点的轨迹. 解法1：设交点为P(x,y)，双曲线的实半轴长为a (2a4)，则椭圆长半轴长为2a, 由半焦距为4, 得它们的方程分别为： (1) 和=1 (2) (2)′4─(1)得： (3),代入(1)得：a2=2|x| 再代入(3)化简得：(x─5)2+y2=9 或(x+5)2+y2=9 . 解法2：用定义法求解. |F1P|+|F2P|=2||F1P|─F2P||, 解得：|F1P|=3′ |F2P| 或3′ |F1P|=|F2P| . 即：3或 3, 化简得：(x─5)2+y2=9 或(x+5)2+y2=9 . 【备用例题】 已知双曲线C的实半轴长与虚半轴长的乘积为,C的两个焦点分别为F1，F2， 直线l过F1且与直线F1F2的夹角为?，tg?=l与线段F1F2的中垂线交点为P，线段PF2与双曲线C的交点为Q，且PQ：QF2=2：1，=1，焦点为F2(c,0), ab=, 直线l的斜率k= tg?=， ∴l的方程是：y=(x─c)。令x=0, 得P(0,c)， ∵?==2:1，∴, 即Q()，且c=. 将Q点的坐标代入双曲线的方程得：=1， 化简得：16?─41?─21=0, 解得：=3 或= ─ (舍).即b=a (1) 又ab= (2)