第3章 刚体力学第章 刚体力学.doc

第三章 刚体力学 §3.0 引 1. 从定轴转动的转动动能说起： 先看怎样求定轴转动的转动动能： 对于刚体内任一点，其动能为 其中为各点到转轴的距离(注意,这里不是代表各点的位矢的大小)。 对于整个刚体，其动能为 其中，称为转动惯量。 2. 与平动对比： 将刚才所求的转动动能公式与平动动能公式对比： 可见只要将换成，二者形式完全一样。 受此启发，做理论系统的对比： 牛顿定律 转动定理 于是我们认识到： “平动质量”=“平动惯量”； “转动惯量”=“转动质量”。 “力矩”=“转动力”。 “角速度”=“转动速度”。 “角动量”=“转动动量”。 “转动定理”=“转动的牛顿定律”。 动量定理的微分形式: 角动量定理的微分形式: 动量定理的积分形式: 角动量定理的积分形式: 动能定理的微分形式: 转动动能定理的微分形式: 动能定理的积分形式: 转动动能定理的积分形式: §3.1 刚体运动的分析 1、刚体定义： 刚体是一类特别的质点系，其中任何两个质点间的距离，恒定不变（哪怕受到力的作用）。 2. 描述刚体位置的独立变量： 独立变量又称为自由度。 确定一个质点在空间的位置，需3个独立变量。如；或。 确定个质点组成的刚体在空间的位置，似乎需个独立变量。其实不然，因为刚体定义为其内任何两个质点的距离恒定不变，因此每两个质点间有一个约束（可设想为一根不计质量的刚杆）。不妨设想个质点组成一空间桁架：先用3根刚杆环连3个质点。以后每增加1个质点需3根刚杆，故所需刚杆总数为。再由“自由度=-独立约束数”得：。 还可以把一般的刚体的机械运动看作是平动与转动的组合：在刚体中选取一点，然后通过点选取任一直线作为转动轴（转动轴的长度并不是我们要考虑的，极短都行）。于是要确定点的位置，需要3个独立变量（即坐标）；要确定轴在空间的取向，又需要2个变量（即轴线的方向余弦，注意虽存在3个方向余弦，但3者是不互相独立的，因为它们的平方和等于1。所以只有选其中2个方向余弦才是独立的）；要确定刚体绕轴转了的角度，又需要一个变量。所以总共需要6个独立变量。 3. 描述刚体的常用坐标系： 刚体上的固着坐标系---即坐标轴画在刚体上，这是一种特殊的动坐标系。 4. 刚体运动分类： 上面已说，对于一般的刚体运动需要6个独立变量，但在某些条件限制下（也即存在约束，或说已知一些独立变量取了定值时），刚体运动可以少于6个独立变量，分类如下： 平动 （自由度：3） 定轴转动 （自由度：1） 平面运动（平面平行运动） （自由度：3） 定点转动 （自由度：3） 一般运动：平动+定点转动 （自由度：6） §3.2 角速度矢量 1. 刚体的角位移： 记为，其模，其方向在转动轴上遵守右手螺旋法则。 有限角位移不遵守平行四边形加法的交换律，所以不属于矢量。 无穷小角位移才是矢量。 线位移与角位移的关系： 2. 刚体的角速度矢量： 定点转动的转动轴的空间取向随时间而变，其在每一时刻被称为该时刻的转动瞬轴。角速度矢量其方向就沿着该时刻的转动瞬轴，其大小则为。 线速度与角速度的关系： §3.3 欧拉角 1．欧拉角 2．欧拉运动学方程 刚体定点转动可看作是由自转、章动和进动三个独立转动的合成，因此刚体定点转动的角速度可以表为自转角速度、章动角速度和进动角速度的合成： 刚体定点转动的角速度在静止坐标系中的表示： 刚体定点转动的角速度在固着坐标系中的表示： 此两组方程即刚体定点转动的欧拉运动学方程。 §3.4 刚体运动方程与平衡方程 1. 力系的简化： 1.1? 两个等价的原理: ●平衡力不改变刚体运动状态的原理　　实践证明：刚体上施以一平衡力（等值反向且作用在同一直线上），刚体的运动状态不变。●力的可传性原理　　实践证明：力可沿它的作用线向前或向后移动，而刚体运动状态不因力沿力的作用线前后移动而变,亦即作用在刚体上的力产生的力学效果，仅由力的量值与作用线的地位与方向决定，而与力的作用点无关。