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第3章 系统的时域分析习题详解 3-1 题3-1图为一装水的水箱，h(t)是水面的高度，f(t)是流入水箱的水的流速，y(t)是流出水箱的水的流速。若水阀的阻力为R，则y(t)=Rh(t)。若水箱是底面积为A的圆柱体，则水箱中水的体积等于Ah(t)。求该系统的输入/输出关系。 题3-1图 解： 水箱中水的体积等于流入水箱水的体积减去流出水箱水的体积，即 将h(t)=y(t)/R代入上式，并对方程两边求导即可求出系统输入/输出的关系为 3-2 判断下列连续时间系统是否是线性、时不变系统，其中是输入，是输出，且系统满足IR条件。 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【解】 常系数微分方程描述的连续系统都是时不变的系统，线性微分方程描述的连续系统都是线性的系统。因此，常系数线性微分方程描述的连续系统都是线性时不变的系统。 (1) 线性、时不变 (2) 非线性、时不变 (3) 线性、时变 (4) 非线性、时不变 (5) 非线性、时不变 (6) 线性、时不变 (7) 线性、时变 (8) 非线性、时不变 3-3 判断下列离散时间系统是否是线性、时不变系统，其中是输入，是输出，且系统满足IR条件。 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【解】常系数差分方程描述的离散系统都是时不变的系统，线性差分方程描述的离散系统都是线性的系统。因此，常系数线性差分方程描述的离散系统都是线性时不变的系统。 (1) 线性、时不变 (2) 非线性、时不变 (3) 线性、时变 (4) 非线性、时不变 (5) 线性、时不变 (6) 线性、时变 (7) 非线性、时变 (8) 线性、时不变 3-4 已知描述某连续时间LTI系统的微分方程 ， ，试求系统在下列输入激励作用下系统的固有响应、强迫响应及完全响应。 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【解】利用经典法可以求解微分方程的完全解，其由齐次解yh(t)和特解yp(t)组成，即。其中系统的完全响应对应微分方程的完全解，系统的固有响应对应微分方程的齐次解，系统的强迫响应对应微分方程的特解。 先根据微分方程的齐次方程列出特征方程，再由特征方程求出特征根，由特征根的形式写出齐次解的形式，齐次解中所含的待定系数由初始条件决定。 系统的微分方程的齐次方程为 特征方程为 s+3 = 0 特征根为 s= -3 故齐次解形式为： ， t0 (1) 由输入的形式，可设微分方程的特解为 yp(t)=C， 将特解yp(t)代入原微分方程，即可求得常数C=1/3, 故微分方程的特解为 yp(t)= 1/3， t0 完全解y(t)的表示式为 ， t0 由初始条件确定y(t)中的未知数A， 可得A=2/3，则系统的完全响应为 系统的固有响应为，强迫响应为yp(t)= 1/3，t0。 (2) 由输入的形式，可设微分方程的特解为 yp(t)， 将特解yp(t)代入原微分方程，即可求得常数C=1/2, 故微分方程的特解为 yp(t) ， t0 完全解y(t)的表示式为 ， t0 由初始条件确定y(t)中的未知数A， 可得A= 1/2，则系统的完全响应为 系统的固有响应为，强迫响应为，t0。 (3) 由于输入激励，而系统微分方程的特征根为s = (3， 所以特解形式应设为 yp(t) ，t0 将假设的特解yp(t)代入微分方程可得常数C=1, 故微分方程的特解为 yp(t)，t0 完全解y(t)的表示式为 ，t0 由初始条件确定y(t)中的未知数A， 系统的完全响应为 系统的固有响应为，强迫响应为，t0。 (4) 由输入的形式，可设微分方程的特解为 yp(t)= C+Dt，t0 将特解yp(t)代入微分方程可求得常数C=-1/9，D=1/3, 故微分方程的特解为 yp(t) = t /3-1/9，t0 完全解y(t)的表示式为 ，t0 由初始条件确定y(t)中的未知数A， 可得 A= 10/9 系统的完全响应为 系统的固有响应为，强迫响应为，t0。 (5) 由输入信号的形式，可设方程的特解为，t0 将特解代入微分方程可得常数C=1/10，D=3/10, 故微分方程的特解为 完全解的表示式为： ，t0 由初始条件确定y(t)中的未知数A， 求得 A=7/10 系统的完全响应为 系统的固有响应为，强迫响应为，t0。 (6) 由输入的形式，设特解为 ，t0 将特解代入微分方程即可求得常数C=1，D=0, 故微分