第3章 机械能和功.doc

第3章 机械能和功 一、功 1、功能的定义式：恒力的功：变力的功：2、保守力若某力所作的功仅取决于始末位置而与经历的路径无关，则该力称保守力。或满足下述关系的力称保守力：??????? 3、几种常见的保守力的功：（1）重力的功：（2）万有引力的功：（3）弹性力的功：4、功率?? 二、势能保守力的功只取决于相对位置的改变而与路径无关。由相对位置决定系统所具有的能量称之为势能。 1、常见的势能有（1）重力势能? （2）万有引力势能? （3）弹性势能? 2、势能与保守力的关系（1）保守力的功等于势能的减少? （2）保守力为势能函数的梯度负值。? （3）势能曲线??? 势能曲线能很直观地表述一维运动的主要特征，如运动范围，平衡位置，保守力随位置的变化情况，动能与势能的相互转换等。 三、动能定理、功能原理、机械能守恒定律 ??? 功可分为：外力的功、保守内力的功、和非保守内力的功1、? 质点动能定理：2、质点系动能定理：3、功能原理：4、机械能守恒定律：，时， 第3章 机械能和功 【例3-1】已知三种力如下：；；。式中、为x、y方向的单位矢量，为速度方向的单位矢量，、K为常数。（1）分别计算这三种力沿任意路径所作的功；（2）判断哪是保守力，哪是非保守力； ?? ??? 【解】（1）根据题意及功的定义，处理、力作功取直角坐标，处理力作功取自然坐标，原点选在运动的开始点，则：（2）根据保守力的定义：???? ???? ??（s为闭合路径的长度）???? 因此、为保守力，为非保守力。 【例3-2】轻弹簧AB的上端A固定，下端B悬挂质量为的重物。已知弹簧原长，劲度系数为，重物在O点达到平衡，此时弹簧伸长了，如图所示。取轴向下为正，且坐标原点位于：（1）弹簧原长位置；（2）力的平衡位置。若取原点为重力势能和弹性势能的势能零点，试分别计算重物在任一位置时系统的总势能。 【解】（1）以弹簧原长点为坐标原点，系统总势能??? ??? （2）若以重力与弹性力合力的平衡位置为原点，则有??? ??????????任意位置x处的系统总势能：??? ??? 由此可知，以重力和弹性力合力的平衡位置为原点为势能的零点，它的总势能与只有弹性势能的是等效的。这样势能零点的选取，应用在实际问题中就方便多了。??? 这一结果还可以从另一方面来理解，重力和弹性力都是保守力，它的合力F也应是保守力，现取重力和弹性力的平衡位置为坐标原点，则合力的大小??? 与单纯只有弹性力一样，因为它的总势能就应??? ? 【例3-3】双原子分子的势函数可表示为：式中a、b为正常数，这势函数曲线可如题图3-3a所示，如果双原子分子的总能量为零。求：（1）双原子之间的最小距离；?? （2）双原子之间平衡位置的距离；?? （3）双原子之间最大引力时的两原子距离；?? （4）势阱深度Ed:?? （5）画出与势能曲线相应的原子之间的相互作用力曲线。 【解】（1）由题意双原子的总能量为零，即??????????? 当动能时，为最大，两原子之间有最小距离??????????? ???????? 解得： ?? （2）平衡位置的条件为F=0。??????? 又有势函数与两原子相互作用力的关系：??????????? ????????? 可得：?? （3）最大引力的条件为：? ??????? 即：??????????? ??????? 此时两原子相距： （4）将平衡位置两原子之间的距离代入势函数公式，可得势阱深度：????? ??? （5）分子之间相互作用的势能曲线可用题图3-3a表示，由保守力与势能系数的关系：?????? 可知，势能曲线斜率的负值应为保守力的大小。势能曲线上极小植的位置处应有：?????? 也就是在位置处，保守力F为零。??? 在势能曲线的拐点位置处应有：????????? 也就是保守力F的最小值的位置，由此可画出图3-3b的分子间相互作用力随位置的关系曲线的大致情况了 【例3-4】在密度为的液面上方，悬挂一根长为，密度为的均匀棒A B，棒的B端刚和液面接触如题图3-4a，今剪断细绳，设细棒只在浮力和重力作用下运动，在的条件下，求细棒下落过程中的最大速度，以及细棒能潜入液体的最大深度H。 ??? ????【解】现在只要求某一状态的情况，采用功能原理解题比较方便。先求棒B端沉入液面处浮力F所作的功（设棒的横截面积为s）：时：重力所作的功： 由动能定理得：???????????? （1）要求细棒下沉最大的速度也是相当于求细棒动能的最大值，我们将上