第3章 导数与微分.doc

第一讲 导数的概念 教学内容 1. 导数的物理与几何模型; 2. 导数的定义; 3. 求导举例; 4. 函数的可导性与连续性的关系. 教学目的与要求 理解导数的概念及它的几何意义、物理意义; 能用导数的定义求简单函数的导数; 理解可导与函数连续的关系; 会用左、右导数的概念判断分断函数的连续和可导性. 教学重点与难点 导数的概念及它的几何意义、物理意义; 用左、右导数的概念判断分断函数的连续和可导性. 教学时数 4 §2.1 导数的概念 一、导数的物理与几何模型 变速直线运动的瞬时速度 设一质点在坐标轴上作非匀速运动( 时刻t质点的坐标为s( s是t的函数( s?f(t)( 求动点在时刻t0的速度( 考虑比值 ( ? 这个比值可认为是动点在时间间隔t?t0内的平均速度( 如果时间间隔选较短( 这个比值在实践中也可用来说明动点在时刻t0的速度( 但这样做是不精确的( 更确地应当这样( 令t ?t0(0( 取比值的极限( 如果这个极限存在( 设为v ( 即 ( 这时就把这个极限值v称为动点在时刻t 0的速度( 平面曲线的切线的斜率 设有曲线C及C上的一点M( 在点M外另取C上一点N( 作割线MN( 当点N沿曲线C趋于点M时( 如果割线ＭＮ绕点Ｍ旋转而趋于极限位置MT( 直线ＭＴ就称为曲线Ｃ有点Ｍ处的切线( 设曲线C就是函数y?f(x)的图形( 现在要确定曲线在点M(x0, y0)(y0?f(x0))处的切线( 只要定出切线的斜率就行了( 为此( 在点M外另取C上一点N(x, y)( 于是割线MN的斜率为 ( 其中?为割线MN的倾角( 当点N沿曲线C趋于点M时( x(x0( 如果当x(x 0时( 上式的极限存在( 设为k ( 即 存在( 则此极限k 是割线斜率的极限( 也就是切线的斜率( 这里k?tan ?(?其中?是切线MT的倾角( 于是( 通过点M(x0, f(x0))且以k 为斜率的直线MT便是曲线C在点M处的切线( 二、导数的定义 1. 函数在一点处导数 定义 设函数在内有定义， ①当自变量在处取得增量(点仍在该邻域内)时； ②相应地函数取得增量； ③如果与之比当时的极限存在，则称函数在点处可导，并称这个极限为函数在点处的导数，记为，即 . 也可记为 , 或 ． 也称函数增量与自变量增量之比是函数在以及为端点的区间上的平均变化率，导数是函数在点处的变化率，即瞬时变化率． 2. 函数在一点处导数——导函数 将处导数定义中的换成，如果与之比当时的极限存在，则称函数在点处可导，并称这个极限为函数在点处的导数，记为，即 . 显然，当 在某区间内变化时，是的函数. 因此称之为导函数. 导函数的记号还有, 或 ． 3.处导数与导函数的关系 函数在点的导数是导函数在点处的函数值．即 . 通常，导函数简称为导数． [例题1] 求函数的导数以及在点的导数. 4.不可导的情形 由可导定义，如果的极限不存在，即有下述情况之一，称函数在点处不可导． （1）=； （2）无稳定的变化趋势. [例题2] （1）求函数在处的导数. （2）求函数在处的导数. 5. 导数定义的不同形式 =的具体形式有以下情况，需要学生灵活运用. （1）=； （2）=； （3）=； （4）= （5）=. [例题3] （1）已知存在，求. （2）已知，在处连续，求. （3） 计算极限. 三、求导举例 [例1]．求函数f(x)?C（C为常数）的导数( 解: ( 即????(C ) (?0( [例2].? 求的导数.? 解:? ?? [例3].? 求的导数? 解? ? [例4]．求函数f(x)?x n (n 为正整数)在x?a处的导数( 解( f ((a)(x n?1?ax n?2??( ( (??a n?1)?na n?1( 把以上结果中的a 换成x 得 f ((x)?nx n?1( 即 (x n)(?nx n?1( (C)((0( ( ( ( 更一般地( 有(x ?)(??x ??1 ( 其中?为常数( [例5]．求函数f(x)?sin x 的导数( 解( f ((x) ??????????????????????? ??????????????????????( 即 (sin x)(?cos x ( 用类似的方法( 可求得 (cos x )(??sin x ( [例6]．求函数f(x)??a x(a0( a (1) 的