第73讲 轨迹问题.doc

第73讲 轨迹问题 【考点解读】 了解曲线与方程的关系， 2．掌握求动点轨迹的基本思路和常用方法 3.培养用坐标法解题的思想 【知识扫描】 1.曲线与方程的关系 一般的，在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下关系： (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点均是曲线上的点. 那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线. 2.求轨迹方程的基本思路 (1)建立适当的直角坐标系，设曲线上的任意一点（动点）坐标为M(x,y). (2)写出动点M所满足的几何条件的集合. (3)将动点M的坐标代入几何条件,列出关于动点坐标的方程f(x,y)=0. (4)化简方程f(x,y)＝0为最简形式. (5)证明（或检验）所求方程表示的曲线上的所有点是否都满足已知条件. 注意：第（2）步可以省略，如果化简过程都是等价交换，则第（5）可以省略；否则方程变形时，可能扩大（或缩小）x、y的取值范围，必须检查是否纯粹或完备（即去伪与补漏）. 3.求轨迹方程的常用方法 (1)直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量(如距离与角)的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只需把这种关系转化为x,y的等式就得到曲线的轨迹方程； (2)定义法：某动点的轨迹符合某一基本轨迹(如直线、圆锥曲线)的定义,则可根据定义采用设方程求方程系数得到动点的轨迹方程； (3)代入法(相关点法)：当所求动点M是随着另一动点P(称之为相关点)而运动，如果相关点P满足某一曲线方程，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，再把相关点代入曲线方程，就把相关点所满足的方程转化为动点的轨迹方程； (4)参数法：有时求动点应满足的几何条件不易得出，也无明显的相关点，但却较易发现这个动点的运动常常受到另一个变量(角度、斜率、比值、截距或时间等)的制约，即动点坐标(x,y)中的x,y分别随另一变量的变化而变化，我们可称这个变量为参数，建立轨迹的参数方程； (5)交轨法：在求两动曲线交点的轨迹问题时，通过引入参变量求出两曲线的轨迹方程，再联立方程，通过解方程组消去参变量，直接得到x,y的关系式. 【考计点拨】 1.方程表示的曲线是（ ） A．一个圆 B. 两个圆 C. 半个圆 D. 两个半圆 【答案】D 2.已知椭圆 =1的左、右焦点分别为F1、F2,P为椭圆上一动点,延长F1P到Q, 使得|PQ|=|PF2|,则动点Q的轨迹方程是 . 【答案】 3.的两个顶点B（-2，0），C（2，0），顶点A 在抛物线上移动，则 的重心的轨迹方程为 . 【解析】设的重心G为(x, y), A(x0, y0) 则由重心坐标公式有x= , y=即x0 = 3x, y0 = 3y∵顶点A 在抛物线上移动 ∴ ( 3y = (3x)2 +1 ，即∴所求轨迹方程为. 4.设F（1，0），M点在x轴上，P点在y轴上，且当点P在y轴上运动时，则N点的轨迹C的方程为 【解析】【解】∵，故P为MN中点． 又∵，P在y轴上，F为（1，0），故M在x轴的负方向上， 设N（x，y）则M（－x，0），，（x0），∴， 又∵故 即 是轨迹C的方程。 5.已知两点以及一条直线，设长为的线段AB在直线上移动，则直线PA和QB的交点M的轨迹方程为 . 【解析】设M(x,y), A(a, a) , B(b, b), 不妨规定ab 则由|AB|= ( b = a+1 直线PA方程为y – 2 = 直线QB方程为y – 2 = ∴动点M满足，消去参数a, b得. 典例分析 考点一、用直接法求轨迹方程 【例1】在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,-1)，B点在直线y = -3上，M点满足MB//OA， MA?AB = MB?BA，M点的轨迹为曲线C。 （Ⅰ）求C的方程； （Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处得切线，求O点到l距离的最小值。 解： (Ⅰ)设M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1).所以=（-x,-1-y）, =(0,-3-y), =(x,-2).再由愿意得知（+）??=0,即（-x,-4-2y）??(x,-2)=0. 所以曲线C的方程式为y=x-2. (Ⅱ)设P(x,y)为曲线C：y=x-2上一点，因为y=x,所以的斜率为x 因此直线的方程为，即。 则O点到的距离.又，所以 当=0时取等号，所以O点到距离的