第74讲 定点定值题问题.doc

第74讲 定点、定值问题 【考点解读】 定点定值问题是解析几何大题中的考查重点。此类问题定中有动，动中有定，并且常与轨迹问题，曲线系问题等相结合，深入考查直线和圆、圆锥曲线，直线和圆锥曲线位置关系等相关知识。考查数形结合，分类讨论，化归与转化，函数与方程等数学思想方法。 【知识扫描】 定点定值问题主要考查三个题型： 定点问题 解题关键在于寻找题中用来联系已知量、未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量、未知量代入上述关系，通过整理、变形转化为过定点的直线系、曲线系问题来解决。 定值问题 解题关键在于选定一个适合该题设的德参变量，用题中已知量和参变量表示题中所涉及的定义，方程，几何性质，再用韦达定理，点差法导出所求定值关系式需要的表达式，并将其代入定值关系式，化简整理求出结果。 定轨迹问题 实质是求轨迹方程，可用求轨迹方程的方法求解。 【考计点拨】 1.设A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y2＝2px(p0)上的两点，并且满足OA⊥OB，则y1y2等于(　　) A．－4p2 B．－3p2 C．－2p2 D．－p2 解：　∵OA⊥OB，∴·＝0. ∴x1x2＋y1y2＝0.① ∵A、B都在抛物线上，∴∴ 代入①得·＋y1y2＝0，解得y1y2＝－4p2. 2. 抛物线y＝ax2与直线y＝kx＋b(k≠0)交于A，B两点，且此两点的横坐标分别为x1，x2，直线与x轴交点的横坐标是x3，则恒有(　　) A．x3＝x1＋x2　　　　　　 B．x1x2＝x1x3＋x2x3 C．x1＋x2＋x3＝0 D．x1x2＋x2x3＋x3x1＝0 解：　由方程组得ax2－kx－b＝0，可知x1＋x2＝，x1x2＝－，x3＝－，代入各项验证即可得B正确，故选B. 3.过抛物线y2＝2px(p0)上一定点M(x0，y0)(y0≠0)，作两条直线分别交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)，当MA与MB的斜率存在且倾斜角互补时，则等于(　　) A．－2 B．2 C．4 D．－4 解：　kMA＝＝＝＝(y0≠y1)，同理：kMB＝.由题意：kMA＝－kMB，∴＝－，∴y1＋y0＝－(y2＋y0)，y1＋y2＝－2y0，∴＝－2，故选A. 4．过抛物线的焦点F作直线交抛物线于两点， 则 （1） （2） 点例解析 考点一、定点问题 例1. 椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，该椭圆经过点且离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与椭圆相交两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标． 解：（1）椭圆的标准方程为 （2）设，得: ，, 以为直径的圆过椭圆的右顶点，， ， ，，且均满足， 当时，的方程为，则直线过定点与已知矛盾 当时，的方程为，则直线过定点 直线过定点，定点坐标为 规律小结：解决定点问题要注意曲线系、恒成立问题 变式训练1： 如图，椭圆过点，其左、右焦点分别为，离心率，是椭圆右准线上的两个动点，且． （1）求椭圆的方程； （2）求的最小值； （3）以为直径的圆是否过定点？ 请证明你的结论． 解：（1），且过点， 解得 椭圆方程为。 设点 则， ， 又， 的最小值为． 圆心的坐标为，半径. 圆的方程为， 整理得：. ， 令，得，. 圆过定点. 考点二、定值问题 例2. 如图，为半圆，AB为半圆直径，O为半圆圆心，且，Q为线段OD的中点，已知|AB|=4，曲线C过Q点，动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变。 （Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程； （Ⅱ）过点B的直线与曲线C交于M、N两点，与OD所在直线交于E点，若为定值。 解：（Ⅰ）以AB、OD所在直线分别为x轴、y轴， O为原点，建立平面直角坐标系， ∵动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变． 且点Q在曲线C上,∴|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2＞|AB|=4． ∴曲线C是为以原点为中心，A、B为焦点的椭圆 设其长半轴为a,短半轴为b,半焦距为c,则2a=2,∴a=,c=2,b=1．∴曲线C的方程为+y2=1 （Ⅱ）证法1：设点的坐标分别为， 又易知点的坐标为．且点B在椭圆C内,故过点B的直线l必与椭圆C相交． ∵，∴． ∴ ，． 将M点坐标代入到椭圆方程中得：，去分母整理，得． 同理，由可得：． ∴ ，是方程的两个根，∴ ． （Ⅱ）证法2：设点的坐标分别为，又易知点的坐标为