[第六讲期望与方差.docx

第五讲：离散型随机变量的分布列一：基础知识归纳1、试验与随机试验：凡是对现象的观察或为此而进行的实验，都称之为试验．一个试验如果满足下述条件：①可以在相同的情形下重复进行；②实验的可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪个结果。它就称为一个随机试验。2、随机变量：如果随机实验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量．3、离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，我们可以按一定的次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．4、离散型随机变量的概率分布列及其性质：设离散型随机变量ξ可能取的值为小x1，x2，…xi，…，ξ取每一个值xi (i＝1，2，3，…)的概率Pi (ξ＝xi)＝Pi，则称表ξx1x2…xi…PP1P2…Pi…为随机变量ξ的概率分布，它具有以下性质：①Pi≥0，i＝1，2，3，…；②P1+ P2+…＝1．离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．5、二项分布：如果在第一次实验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复实验中这个事件恰好发生k次的概率是P(ξ=K)=pk(1-P)n-k，其中k＝0、1、2、3、…、n，．于是得到随机变量ξ的概率分布如下ξ01…K…nPp0(1-P)np1(1-P)n-1…pk(1-P)n-k…pn由于恰好是 ((1-p)+p)n的二项展开式中的第k+1(k＝0，l，2，3，…，n)项的各个值，故称为随机变量ξ的二项分布，记作ξ一B(n，P)．6、期望与方差 ①期望：若离散型随机变量ξ的概率分布为P(ξ＝xi)＝Pi，i＝1，2，3，…，则称Eξ＝x1? P1 + x2? P2 +…+ xi? Pi+…为ξ的数学期望或平均数、均值．特别地，若ξ～B(n，P)，则＝np． ②方差：我们把(x1-Eξ)2+（x2- Eξ)2 +…+（xi - Eξ)2 +……叫做随机变量ξ的均方差，简称为方差，记作Dξ，标准差是σξ=特别地，若ξ～B(n，P)，则Dξ＝npq．③性质：E(aξ+b)＝aEξ+b，D(aξ+b)＝a2D ξ(a、b为常数)．二：典例归类例1、投掷均匀硬币一次，随机变量为( ) A、出现正面的次数 B、出现正面或反面的次数C、掷硬币的次数 D、出现正、反面次数之和牛刀小试1、下列变量是离散型随机变量还是连续型随机变量： ①连续不断射击，首次命中目标需要的射击次数η； ②某工厂加工某种钢管，外径与规定的外径尺寸之差ξ ③投掷一个骰子，六面刻上数字1-6，所得的点数ξ2、写出下列各随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果： ①盒中装有6支白粉笔和2支红粉笔，从中任意取出3支，其中所含白粉笔的支数ξ，所含红粉笔的支数η； ②从4张已编号(1号～4号)的卡片中任意取出2张，被取出的卡片号数之和ξ；③离开天安门的距离ξ； ④袋中有大小完全相同的红球5个，白球4个，从袋中任意取出一球，若取出的球是白球，则过程结束；若取出的球是红球，则将此红球放回袋中，然后重新从袋中任意取出一球，直至取出的球是白球，此规定下的取球次数ξ3、某校为学生定做校服，规定凡身高不超过160 cm的学生交校服费80元．凡身高超过160cm的学生，身高每超出1 cm多交5元钱(不足1 cm时按1 cm计)．若学生应交的校服费为η，学生身高用ξ表示，试写出η与ξ之间的关系式．例2、一盒中有9个正品和3个次品零件，每次取一个零件，①如果每次取出的产品都不放回此批产品中，求在取得正品前已取出的次品数ξ的概率分布；②如果每次取出是次品不再放回，求在取得正品前已取出的次品数ξ的概率分布，并求P(≤ξ≤)③如果次取出的产品都立即放回此批产品中，然后再取出一件产品，求在取得正品前已取出的次品数ξ的概率分布④如果每次取出一件产品后总以一件合格品放回此批产品中，求在取得正品前已取出的次品数ξ的概率分布。牛刀小试1、已知随机变量ξ的分布列为ξ-2-10123P分别求出随机变量η1＝， η2＝ξ2的分布列。2、一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取3只，以ξ表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量车的分布列？3将3个小球任意地放入4个大的玻璃杯中去，杯子中的最大个数记为ξ；求ξ的分布列？4、设某项试验的成功中是失败率的2倍，用随机变量ξ去描述1次试验的成功次数，则P(ξ=0)=______5、某射手进行射击练习，每射击5发子弹算一组，一旦命中就停止射击，并进行下一组的练习，否则一直打完5发子弹后才能进入下组练习．并且已知他射击—次的命中率为0.8，求在这一组练习中耗用子弹数ξ的分布列？6、某厂生产的电子元件，其每件产品的次品率为5％(即每件为次品的概率)，现从一批