第7章习题解答第7习题解答.doc

习题7.1 随机地从一批钉子中抽取10枚，测得长度（单位：cm）如下： 2.11，2.14，2.10，2.13，2.15，2.13，2.12，2.14，2.12，2.13 试求这批钉子长度总体均值μ及方差σ2的矩估计值，并求样本方差s2 . 解：＝＝2.127；＝＝0.014182＝0.000201； . 设总体X服从几何分布，其分布律为： P（X=k）=（1-p）k-1p，k=1，2，……， 其中p为未知参数，(X1,X2,…,Xn)是取自总体X的一个样本，求p的矩估计. 解：EX＝. 设，|x|1. ，. EX＝,,. 设总体X的概率密度为 其中θ0,(X1,X2,…,Xn)是取自总体X的一个样本，试求未知参数θ的矩估计. 解：EX＝,(=3EX, . 4、设( X1,X2,…,Xn)是取自总体X的一个样本，求下述各总体的概率密度函数中的未知参数θ的最大似然估计. （1）. 解：似然函数为 L(θ)= (0≤xi≤1,i=1,2,…,n) ， (0≤xi≤1,i=1,2,…,n) ， 令 ， 从中解得 ，此即为θ的最大似然估计. （2） 解：似然函数为 L(θ)= (0xi,i=1,2,…,n) ， (0xi,i=1,2,…,n) ， 令 ， 从中解得 ，此即为θ的最大似然估计. 5、设总体X服从二项分布B(m,p)，其中m已知，p为未知参数，(X1,X2,…,Xn)是取自总体X的一个样本求p的矩估计和最大似然估计. 解：EX＝mp,p=EX/p, . 6、设总体X服从指数分布Exp（λ），概率密度函数为 (X1,X2,…,Xn)是取自总体X的一个样本.求未知参数λ的矩估计与最大似然估计. 解：EX＝1/λ, 所以λ的矩估计.再求λ的最大似然估计. 似然函数为 L(λ)= (0xi,i=1,2,…,n) ， (0xi,i=1,2,…,n) ， 令 ， 从中解得 ，此即为θ的最大似然估计. 习题7.2 1、设(X1,X2,…,X6)是取自总体X的一个样本，θ=E(X)为待估参数.问下列点估计中哪些是θ的无偏估计？ 解：； ，. ，是θ的无偏估计. 2、设随机变量X～P（λ），(X1,X2,…,Xn)是取自X的一个样本.试证是参数λ2的无偏估计. 解： 所以是参数λ2的无偏估计. 3、设随机变量X～，试证是参数θ的无偏估计. 解：EX=θ，，所以是参数θ的无偏估计. 4、设总体X的数学期望为μ，(X1,X2,…,Xn)是取自X的一个样本.a1,a2,…,an是任意常数，验证是μ的无偏估计. 解：E， 所以是μ的无偏估计. 5、设第1题中的总体X的方差Var(X)存在.问θ的哪个无偏估计较为有效？ 解：≈0.21DX， ≈0.17DX，，较有效. 习题7.3 1、测试某种清漆的干燥时间，随机抽取12个样品，其干燥时间（以小时计）分别为 6.0，5.7，5.8，6.5，7.0，6.3，5.6，6.1，5.0，6.2，5.9，6.4 设干燥时间总体服从正态分布N(μ,σ2)，对以下两种情况分别求μ的95%置信区间. (1)若由以往经验知σ=0.5（小时）；(2)若σ为未知. 解：(1)＝6.0417，s＝0.5071，α＝0.05， ＝（5.7588，6.3246）； (2) ＝＝（5.7195，6.3639）. 2、包糖机某日开工包了10包糖，称得的重量（单位：g）分别为 505,515,520,525,510,485,490,505,500,495 假设糖包重量服从正态分布，试求糖包平均重量的95%置信区间. 解：＝505，s＝12.9099，α＝0.05，＝，＝505＝5059.2354＝（495.765，514.235）. 3、为估计一批钢索所能承受的平均张力，从其中随机抽样做了9次试验.由试验结果算得张力的样本均值为6720kg/cm2, 样本标准差s为220 kg/cm2.设张力服从正态分布，试求钢索所能承受平均张力的95%置信区间. 解：＝6720，s＝220，α＝0.05，＝， ＝（6720169.11）＝（6550.89，6889.11）. 4、设炮弹初速服从正态分布，随机地取9发炮弹做试验，得炮弹初速度样本标准差为11（m/s）,分别求炮弹初速度的方差σ2和标准差σ的90%置信区间. 解：σ2的置信区间＝＝（62.42，354.19）； σ的置信区间＝（7.90，18.82）. 5、对某农作物两个品种A,B计算了