第一章 数学模导言第一章 数学建模导言.doc

第一章 数学建模导言 1.1 数学模型及其分类 数学建模作为用数学方法解决问题的第一步，它与数学本身有着同样悠久的历史。一个羊倌看着他的羊群进入羊圈，为了确信他的羊没有丢失，他在每只羊进入羊圈时，则在旁边放一颗小石子，如果每天羊全部入圈而他那堆小石子刚好全部放完，则表示他的羊和以前一样多。究竟羊倌数的是石子还是羊，那是毫无区别的，因为羊的数目同石子的数目彼此相等。这实际上就使石子与羊“联系”起来，建立了一个使石子与羊一一对应的数学模型。 （1）什么是数学模型 人们在认识研究现实世界里的客观对象时，常常不是直接面对那个对象的原形，有些是不方便，有些甚至是不可能直接面对原形，因此，常常设计、构造它的各种各样的模型。如各式各样的玩具模型、展览厅里的三峡大坝模型、化学上的分子结构模型等。这些模型都是人们为了一定目的，对客观事物的某一部分进行简化、抽象、提炼出来的原形替代物，集中反映了原形中人们需要的那一部分特征，因而有利于人们对客观对象的认识。数学模型也是反映客观对象特征的，只不过它刻画的是事物在数量方面的特征或数学结构及其变化规律。 数学模型是人们为了认识客观对象在数量方面的特征、定量地分析对象的内在规律、用数学的语言和符号去近似地刻画要研究的那一部分现象时，所得到的一个数学表述。建立数学模型的过程称为数学建模。 (2) 数学模型的重要作用 进入20世纪以来，数学以空前的广度和深度向一切领域渗透，作为数学的应用，数学建模也越来越受到人们的重视。在一般工程技术领域，数学模型仍是工程技术人员定量研究有关工程技术问题的重要工具；而随着数学与其他学科领域诸如经济、人口、生态、地质等所谓非物理领域的渗透，一些交叉学科如计量经济学、人口控制论、数学生态学、数学地质学等应运而生；计算机的发展给数学及作为数学应用的数学建模带来了前所未有的机遇和挑战。计算机改变了人类的生活方式、思考方式和研究方式，极大地提高了人们的计算能力、有哪些信誉好的足球投注网站和分析海量数据和信息的能力。今天数学和其他科学、工程和技术之间的联系，比以前更加紧密。很多科学前沿遇到的主要瓶颈是数学建模问题。计算建模正成为许多学科的通行工具，而计算机只能读懂数学模型，因此“数学化”已成为研究中一个重要的步骤。 数学模型的分类 了解数学模型的分类对于理解别人的数学模型或是给自己建立的数学模型命名都是有用的。数学模型可以按照不同的方式分类，常见有以下的几种。 按照模型的应用领域分。如：人口模型、环境模型、交通模型、水资源模型、生态模型、城镇规划模型等。 按照建立模型所使用的主要数学方法分。如初等模型、微分方程模型、差分方程模型、统计回归模型、数学规划模型、马氏链模型等。 按是否考虑随机因素，可分为确定性模型和随机性模型。 按应用离散方法或连续方法可分为离散模型和连续模型。 按照人们对事物发展过程的了解程度分为白箱模型、灰箱模型和黑箱模型。 此外，根据模型的基本关系分为线性模型与非线性模型，根据是否考虑模型的变化可分为静态模型和动态模型等。 1.2 一个数学建模例子 数学建模面临的实际问题多种多样，建模的目的不同，分析的方法不同，采用的数学工具不同，所得模型的类型也就不同。数学建模常常要使数学知识与其他学科专业知识结合起来，因此，不同应用背景的数学模型也将是千差万别的。但从方法论的意义上看，除了不同数学模型的差异性之外，数学建模过程还是有一些基本的“套路”。本节通过一个数学建模例子，重点说明如何作出合理的、简化的假设，用数学语言确切地表述实际问题，以及建模的结果如何与所研究的客观对象联系起来等。 设河边点O的正对岸为点A，河宽OA=h(图1.1)，水流速度为，有一鸭子从点Ａ游向点Ｏ，设鸭子（在静水中）的游速为，且鸭子游动的方向始终朝着点Ｏ。(1)设h=10m ,,用数值解法求渡河所需时间、任意时刻鸭子的位置及游动曲线。(2)建立任意时刻鸭子的位置和鸭子游动的数学模型，求解析解。 1.2.1 模型的假设 为了使问题确定和简化，实际上已经作了如下假设： 假设河宽固定，设为h，且两岸为平行直线； 鸭子游速为及水流速度均为常数； 鸭子游动的方向始终指向Ｏ。 1.2.2 模型的建立与求解 　　取Ｏ为坐标原点，河岸朝顺水方向为轴，轴指向对岸，如图1.1所示。 图1.1 鸭子游动迹线示意图 设时刻t鸭子位于点,　设起点坐标，终点坐标（0，0），设为鸭子速度方向与轴正向间的夹角，，，于是鸭子游动的迹线满足： 模型的数值解 实际上，从上述方程不能求得，的解析式，但在参数确定的情况下，我们可以通过数值解得到任意时刻鸭子的位置。设，，编写如下的函数M文件： function dx=duhe(t,x) %建立名为duhe的函数M文件 a=1;b=2; s=sqrt(x(