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第四章 平面图形的几何性质 一、教学目标和教学内容 教学目标 1.1掌握静矩和形心的概念和计算方法。 1.2掌握惯性矩、极惯性矩、惯性半径和惯性积的概念和计算方法。 1.3掌握惯性矩和极惯性矩的关系。 1.4熟练掌握某些几何量在不同坐标系中的转换公式——平行移轴公式、转轴公式的应用。 1.5掌握主惯性轴、主惯性矩、形心主惯性轴及形心主惯性矩的定义及计算方法。 掌握组合图形几何性质的计算方法。 教学内容 静矩和形心；惯性矩、惯性积和惯性半径；平行移轴公式、转轴公式、主惯性轴、主惯性矩、形心主惯性轴及形心主惯性矩 二、重点难点 重点：描述平面图形几何性质的各种几何量的定义及计算。平行移轴公式和转轴公式。 难点：组合图形几何性质的计算；某些平面图形几何性质的计算。 三、教学方式 采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。 四、建议学时 4学时 五、讲课提纲 1、截面静矩 从截面中坐标为(y x)处取面积元素dA，ydA和zdA分别称为面积元素dA对z和y轴的静矩。平面图形对z 轴和y轴的静矩为： 匀质薄板形心公式： ∴， （a）当Sz=0?yc=0，即平面图形对某一轴的静矩为零，则该轴必然过形心； （b）当?Sz=0，即若某一轴通过形心，则图形对该轴的静矩为零。 （c）由平面图形的形心必在对称轴上，故平面图形对于对称轴的静矩总是等于零。 （d）静矩是截面对于一定的坐标轴而言的，同一截面对于不同的坐标轴，其静矩不同。 静矩可正可负，也可为零。 2、组合图形的静矩与形心坐标的关系 组合截面对某轴的静矩等于组成它的各简单截面对某轴静矩的代数和。即 ， 形心位置：， 3、惯性矩、极惯性矩和惯性积 惯性矩：（恒为正） ——截面对z、y轴的惯性半径。 极惯性矩：（恒为正） 惯性积：（可正可负，也可为零） 如果图形有一个对称轴，则 4、平行移轴公式 同理可得 它表明，截面对任一轴的惯性矩，等于截面对与该轴平行的形心轴的惯性矩，再加上截面的面积与形心到该轴间距离平方的乘积；截面对任意两相互垂直轴的惯性积，等于它对于与该两轴平行的两形心轴的惯性积，再加上截面的面积与形心到该两轴间距离的乘积。 在平面图形对所有互相平行轴的众多惯性矩中，平面图形对形心轴的惯性矩为最小。 5、转轴公式 任意平面图形（如图Ⅰ-9）对 轴和 轴的惯性矩和惯性积，可由式（Ⅰ-5）—（Ⅰ-9）求得，若将坐标轴 y , z 绕坐标原点 点旋转 角，且以逆时针转角为正，则新旧坐标轴之间应有如下关系 将此关系代入惯性矩及惯性积的定义式，则可得相应量的新、旧转换关系，即转轴公式 cm4 （Ⅰ-14） 6、形心主惯性轴、形心主惯性矩 6.1定义 6.1.1主惯性轴 主惯性矩 对于任何形状的截面，总可以找到一对特殊的直角坐标轴，使截面对于这一对坐标轴的惯性积等于零。惯性积等于零的一对坐标轴就称为该截面的主惯性轴，而截面对于主惯性轴的惯性矩称为主惯性矩。 6.1.2形心主惯性轴 形心主惯性矩 当一对主惯性轴的交点与截面的形心重合时，它们就被称为该截面的形心主惯性轴，简称形心主轴。而截面对于形心主惯性轴的惯性矩就称为形心主惯性矩。 6.2形心主惯性轴的确定 由于任何平面图形对于包括其形心对称轴在内的一对正交坐标轴的惯性积恒等于零，所以，可根据截面有对称轴的情况，用观察法帮助我们确定平面图形的形心主惯性轴的位置。 (1)如果平面图形有一根对称轴，则此轴必定是形心主惯性轴，而另一根形心主惯性轴通过形心，井与此轴垂直。 (2)如果平面图形有两根对称轴，则此两轴都为形心主惯性轴。 (3)如果平面图形有三根或更多根的对称轴，那么，过该图形形心的任何轴都是形心主惯性轴，而且该平面图形对于其任一形心主惯性轴的惯性矩都相等。 需要说明的是，对于没有对称轴的截面，其形心主惯性轴的位置，可以通过计算来确定，因为截面对它的惯性矩是最大或最小。 5