第七章 微分方程第章 微分方程.doc

第七章 微分方程 教学目标： 1．了解微分方程及其解、阶、通解，初始条件和特等概念2．熟练掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法3．会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程4．会用降阶法解下列微分方程：和5．理解线性微分方程解的性质及解的结构定理6．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程7．求自由项为多项式、指数函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解8．会解欧拉方程，会解包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组9．会解微分方程组（或方程组）解决一些简单的应用问题。 教学重点： 可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法可降阶的高阶微分方程; 二阶常系数齐次线性微分方程；自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程 教学难点： 齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；自由项为多项式、指数函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解欧拉方程 教学过程（主要教学环节、教法、学法） 修改批注 §7( 1 微分方程的基本概念 函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映( 利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究( 因此如何寻找出所需要的函数关系( 在实践中具有重要意义( 在许多问题中( 往往不能直接找出所需要的函数关系( 但是根据问题所提供的情况( 有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式( 这样的关系就是所谓微分方程( 微分方程建立以后( 对它进行研究( 找出未知函数来( 这就是解微分方程( 例1 一曲线通过点(1( 2)( 且在该曲线上任一点M(x( y)处的切线的斜率为2x( 求这曲线的方程( 解 设所求曲线的方程为y(y(x)( 根据导数的几何意义( 可知未知函数y(y(x)应满足关系式(称为微分方程) ( 此外( 未知函数y(y(x)还应满足下列条件( x(1时( y(2( 简记为y|x(1(2( 把(1)式两端积分( 得(称为微分方程的通解) ( 即y(x2(C( 其中C是任意常数( 把条件“x(1时( y(2”代入(3)式( 得 2(12(C( 由此定出C(1( 把C(1代入(3)式( 得所求曲线方程(称为微分方程满足条件y|x(1(2的解)( y(x2(1( 例2 列车在平直线路上以20m/s(相当于72km/h)的速度行驶( 当制动时列车获得加速度(0(4m/s2( 问开始制动后多少时间列车才能停住( 以及列车在这段时间里行驶了多少路程? 解 设列车在开始制动后t秒时行驶了s米( s((((0(4( 并且s|t(0=0( s(|t(0=20( 把等式s((((0(4两端积分一次( 得 s(((0(4t(C1( 即v((0(4t(C1(C1是任意常数)( 再积分一次( 得 s((0(2t2 (C1t (C2 (C1( C2都C1是任意常数)( 由v|t(0(20得20(C1( 于是v((0(4t (20( 由s|t(0(0得0(C2( 于是s((0(2t2(20t( 令v(0( 得t(50(s)( 于是列车在制动阶段行驶的路程 s((0(2(502(20(50(500(m)( 几个概念( 微分方程( 表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间关系的方程( 叫微分方程( 常微分方程( 未知函数是一元函数的微分方程( 叫常微分方程( 偏微分方程( 未知函数是多元函数的微分方程( 叫偏微分方程( 微分方程的阶( 微分方程中出现未知函数的最高阶导数的阶数( 叫微分方程的阶( x3 y((((x2 y(((4xy((3x2 ( y(4) (4y((((10y(((12y((5y(sin2x( y(n) (1(0. 一般n阶微分方程( F(x( y( y(( ( ( ( ( y(n) )(0( y(n)(f(x( y( y(( ( ( ( ( y(n(1) ) ( 微分方程的解( 满足微分方程的函数(把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式)叫做该微分方程的解( 确切地说( 设函数y(((x)在区间I上有n阶连续导数( 如果在区间I上F[x( ((x