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第四章 随机变量的六大数学特征 2008年大纲考试内容 随机变量的数学期望（均值）、方差、标准差及其性质 随机变量函数的数学期望 矩、协方差、相关系数及其性质 2008年大纲考试要求 理解随机变量数字特征（数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数）的概念，会运用数字特征的基本性质，并掌握常用分布的数字特征。 2．会求随机变量函数的数学期望。 一、数学期望 　考研数学内容需要掌握4种平均概念：算数平均；几何平均；区间平均；加权平均，即概率平均，也就是数学期望。 1 一维随机变量及函数的数学期望 1.1 离散型　　 1.2 连续型　　　的概率密度为 2 二维随机变量函数的数学期望 　 3 数学期望的性质 3.1 ； 3.2 3.3 独立 3.4 二、方 差 标准方差 1 离散型 2 连续型  3 性 质 3.1 3.2 3.3 3.4 独立 3.5 独立 3.6 , 为任意常数。 三、8+2大分布的数学期望与方差 3.2 0-1分布 3.1 二项分布 , 为个分布之和 3.3 泊松分布 当 3.4 均匀分布 3.5 正态分布 dt = 3.6 指数分布 3.7 几何分布 　　　　　　　　　　 3.8 超几何分布 3.9 分布 3.10 分布 四、二维随机变量的数字特征 4.1 期 望 ● 边缘分布离散型： ● 边缘分布连续型： ● 联合分布函数型： 4.2 方 差 ● 边缘分布离散型： ● 边缘分布连续型： ● 联合分布函数型： ● 两个二维连续分布的数学期望和方差 ●随机变量的标准化方法 4.3 协方差与相关系数 矩 ，只反映了和各自的平均值，而，反映的是和各自偏离平均值的程度，而协方差则反映和之间的关系。 ① 协方差 ② 协方差的性质 1) X和Y独立或不相关，则； 2) 3) 4) ③ 协方差的计算方法 1) 离散型 2) 连续型 3) 利用与和的关系是计算的主要方法 ④ 相关系数 描述的线性相关程度 ● 相关系数本质上是一种线性逼近。考虑以的线性函数来近似表示，这种表示程度的好坏由下式的最小值决定 证明如下 ● 相关系数的性质反应了两个随机变量和的线性关系 1) 。 和独立，说明和什么关系都没有，当然也不会有线性关系，从而；和不相关，但只能说明和没有线性关系，但和可能有非线性关系，和当然不一定独立。也就是说，独立必不相关，不相关不一定独立。只有对正态分布和二值分布而言，独立和不相关才是完全等价。 3）的充要条件是使 ，表示和是完全的线性关系。 ● 不相关的等价命题（均为充要条件） 1) 2) 3) 4) ⑤ 矩和协方差矩阵 1) 阶矩原点矩 2) 阶中心矩 3) 阶混合矩 显然，为X的一阶原点矩，是X的二阶中心矩，是X，Y的1+1阶混合中心矩，也就是说随机变量的全部数字特征最终都可以由矩来统一。 4) 协方差矩阵 设n维随机变量阶混合中心矩 则协方差矩阵定义如下： 由于是一个对称矩阵，它给出了n 维随机变量的全部方差和协方差。 如对二维随即变量，有四个二阶中心矩，下面的是重要考点。 n维正态随机变量的性质 ● n 维随机变量服从n 维正态分布的充要条件是 ，即他们的线性组合服从一维正态分布。 ● 若服从n维正态分布，的线性函数，则 服从维正态分布。 ● 服从n维正态的分布，则相互独立的主要条件是 两两不相关，这是正态分布的特别之处。 五、先进题型和求解秘诀 【例1】设排球队和比赛，若有一队胜三场，则比赛结束，假定获胜的概率为，求比赛场数的数学期望。 解：的可能取值为3，4，5， =3，表示或全胜 =4，表示在第四场取胜或在第四场取胜 =5，表示在第五场取胜或在第五场取胜 同步训练 设球队与进行比赛，若有一队胜4场则比赛结