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[第四节线面平行
第四节直线、平面平行的判定及性质
[知识能否忆起]
一、直线与平面平行
1.判定定理
文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则直线与此平面平行 a∥α
2.性质定理
文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 a∥b
二、平面与平面平行
1.判定定理
文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行 α∥β
2.两平面平行的性质定理
文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行 a∥b
[小题能否全取]
1.(教材习题改编)下列条件中,能作为两平面平行的充分条件的是( )
A.一个平面内的一条直线平行于另一个平面
B.一个平面内的两条直线平行于另一个平面
C.一个平面内有无数条直线平行于另一个平面
D.一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面
解析:选D 由面面平行的定义可知,一平面内所有的直线都平行于另一个平面时,两平面才能平行,故D正确.
2.已知直线a,b,平面α,则以下三个命题:
若ab,bα,则aα;
若ab,aα,则bα;
若aα,bα,则ab.
其中真命题的个数是( )
A.0 B.1
C.2 D.3
解析:选A 对于命题,若ab,bα,则应有aα或aα,所以不正确;
对于命题,若ab,aα,则应有bα或bα,因此也不正确;
对于命题,若aα,bα,则应有ab或a与b相交或a与b异面,因此也不正确.
3.(教材习题改编)若一直线上有相异三个点A,B,C到平面α的距离相等,那么直线l与平面α的位置关系是( )
A.lα B.lα
C.l与α相交且不垂直 D.lα或lα
解析:选D 由于l上有三个相异点到平面α的距离相等,则l与α可以平行,lα时也成立.
4.平面α平面β,aα,bβ,则直线a,b的位置关系是________.
解析:由αβ可知,a,b的位置关系是平行或异面.
答案:平行或异面
5.(2012·衡阳质检)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是DD1的中点,则BD1与平面ACE的位置关系为________.
解析:如图.
连接AC,BD交于O点,连接OE,因为OEBD1,而OE平面ACE,BD1平面ACE,所以BD1平面ACE.
答案:平行
1.平行问题的转化关系:
判定性质
2.在解决线面、面面平行的判定时,一般遵循从“低维”到“高维”的转化,即从“线线平行”到“线面平行”,再到“面面平行”;而在性质定理的应用中,其顺序恰好相反,但也要注意,转化的方向总是由题目的具体条件而定,决不可过于“模式化”.
3.辅助线(面)是求证平行问题的关键,注意平面几何中位线,平行四边形及相似中有关平行性质的应用.
线面平行、面面平行的基本问题
典题导入
[例1] (2011·福建高考)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,点E为AD的中点,点F在CD上.若EF平面AB1C,则线段EF的长度等于________.
[自主解答] 因为直线EF平面AB1C,EF平面ABCD,且平面AB1C∩平面ABCD=AC,所以EFAC.又因为点E是DA的中点,所以F是DC的中点,由中位线定理可得EF=AC.又因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,所以AC=2.所以EF=.
[答案]
本例条件变为“E是AD中点,F,G,H,N分别是AA1,A1D1,DD1与D1C1的中点,若M在四边形EFGH及其内部运动”,则M满足什么条件时,有MN平面A1C1CA.
解:如图,
GN∥平面AA1C1C,
EG平面AA1C1C,
又GN ∩EG=G,
平面EGN平面AA1C1C.
当M在线段EG上运动时,恒有MN平面AA1C1C.
由题悟法
解决有关线面平行、面面平行的基本问题要注意:
(1)判定定理与性质定理中易忽视的条件,如线面平行的判定定理中条件线在面外易忽视.
(2)结合题意构造或绘制图形,结合图形作出判断.
(3)举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确.
以题试法
1.(1)(2012·浙江高三调研)已知直线l平面α,Pα,那么过点P且平行于直线l的直线( )
A.只有一条,不在平面α内
B.有无数条,不一定在平面α内
C.只有一条,且在平面α内
D.有无数条,一定在平面α内
解析:选C 由直线l与点P可确定一个平面β,且平面α,β有公共点,因此它们有一条公共直线,设该公共直线为m,因为lα,所以lm,故过点P且平行于直线l的直线只有一条,且在平面α内.
(2)(2012·
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