第七章 动态规划方建模第七章 动态规划方法建模.doc

第七章 动态规划方法建模 动态规划是由理查德·贝尔曼（Richard Bellman）所建立的，它是解最优化问题的一个特殊“技术”.我们这里用“技术”，是因为动态规划不是一个或一种特殊算法. 7.1 动态规划的基本概念 在生产和科学实验中，有一类活动的过程，由于它的特殊性，可将过程分为若干个互相联系的阶段，在它的每一个阶段都需要作出决策，从而使整个过程达到最好的活动效果.因此，各个阶段决策的选取不是任意确定的，它依赖于当前面临的状态，又影响以后的发展.当各个阶段决策确定后，就组成了一个决策序列，因此也就决定了整个过程的一条活动路线.这种把一个问题可看作是一个前后关联具有链状结构的多阶段过程（如图7.1）就称为多阶段决策过程，也称序贯决策过程.这种问题就称为多阶段决策问题. 在多阶段决策问题中，各个阶段采取的决策，一般来说是与时间有关的，决策依赖于当前的状态，又随即引起状态的转移，一个决策序列就是在变化的状态中产生出来的，故有“动态”的含义.因此，把处理它的方法称为动态规划方法.但是，一些与时间没有关系的静态规划（如线性规划、非线性规划等）问题，只要人为地引进“时间”因素，也可把它视为多阶段决策问题，用动态规划方法来处理. 涉及到动态规划，总会有下面几个概念： 7.1.1 动态规划的基本概念 （１）阶段 把所给问题的过程，恰当地分为若干个相互联系的阶段，以便能按一定的次序求解.描述阶段的变量称为阶段变量，常用表示.阶段的划分，一般是根据时间和空间的自然特征来划分，但要便于把问题的过程能转化成为多阶段决策的过程. （２）状态 状态表示每个阶段开始所处的自然状况或客观条件，它描述了研究问题的状况，又称不可控因素.在最短路问题中，状态就是某阶段的出发位置.它既是该阶段某支路的起点，又是前一阶段某支路的终点.通常一个阶段有若干个状态（一般第一个阶段只有一个状态，它构成动态规划的递推方程的出口），每一个阶段的所有状态构成一个集合，叫做状态集合.用一个变量来描述在第个阶段的状态集合上的取值，此变量称为状态变量（如7.2节中最短路问题中的，以及后面要介绍的背包问题、分割问题及设备更新问题中的参数）. 这里所说的状态是具体的属于某阶段的，它应具备下面的性质：如果某阶段状态给定后，则在这阶段以后过程的发展不受这阶段以前各阶段状态的影响.换句话说，过程的过去历史只能通过当前的状态去影响它未来的发展，当前的状态是以往历史的总结.这个性质称为无后效性，也称马尔可夫（Markov）性.如果状态仅仅描述过程的具体特征，则并不是任何实际过程都能满足无后效性的要求.所以，在构造决策过程的动态规划模型时，不能仅由描述过程的具体特征这点着眼去规定状态变量，而要充分注意到是否满足无后效性的要求.如果状态的某种规定方式可能导致不满足无后效性，则应适当地改变状态的规定方法，达到能使它满足无后效性的要求. （３）决策 决策表示当过程处于某一阶段的某一状态时，可以作出不同的决定（或选择），从而确定下一阶段的状态，这种决定称为决策.在最优控制中也称为控制（只有它才是我们能够控制的）.描述决策的变量称为决策变量.它可以用一个数、一组数或一个向量来描述.常用表示第阶段当状态处于时的决策变量，它是状态或状态变量的函数（可能是向量值函数或多值函数）.在实际问题中，决策变量的取值往往限制在某一范围之内，此范围称为允许决策集合.常用表示第阶段当状态处于出发的允许决策集合，显然有.例如，在最短路问题中，. （４）策略 策略是一个按顺序排列的决策组成的集合.由过程的第阶段开始到终止状态为止的过程，称为问题的后部子过程.由每段的决策按顺序排列组成的决策函数序列称为子策略，记为 当时，此决策函数序列即为一个策略. 在实际问题中，可供选择的策略有一定的范围，此范围称为允许策略集合.从允许策略集合中找到达到最优效果的策略称为最优策略. （５）状态转移方程 状态转移方程式确定过程有一个状态到另一个状态的演变过程.若给定第阶段状态和该阶段的决策变量，则第阶段的状态也就完全确定.即的值随和的值变化而变化.这种确定的对应关系，记为，它描述了由第阶段到第阶段的状态转移规律，称为状态转移方程.称为状态转移函数.例如，在最短路问题中，状态转移方程为. （６）指标函数和最优值函数 用来衡量所实现过程优劣的数量指标，称为指标函数.它是定义在全过程和所有后部子过程上确定的函数.对于要构成动态规划模型的指标函数，应具有可分性，并满足递推关系（详见文献［５］），在实际问题中，很多指标函数都满足此性质. 指标函数的最优值，称为最优值函数.根据问题，取min或max之一. 在动态规划模型中，总会出现一个或一组递推关系，我们把它称为动态规划的基本方程. 7.1.2 动态规划方法的基本思想 现将动态规划方法的基本思