[等腰三角形的性质定理和判定定理复习资料2.doc

等腰三角形复习 知识总结归纳： （－）等腰三角形的性质 1. 有关定理及其推论 定理：等腰三角形有两边相等； 定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； 2. 定理及其推论的作用 等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。 （二）等腰三角形的判定 1. 有关的定理及其推论 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。） 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2. 定理及其推论的作用。 等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。 3. 等腰三角形中常用的辅助线 等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。 注意： 1：等腰三角形的性质定理1 ?（1）文字语言：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”） ?（2）符号语言：如图，在△ABC中，因为AB=AC，所以∠B=∠C 2：等腰三角形性质定理2 （1）文字语言：等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高，互相重合（简称“三线合一”） ??? （3）定理的作用：可证明角相等，线段相等或垂直。 ??? 说明：在等腰三角形中经常添加辅助线，虽然“顶角的平分线，底边上的高、底边上的中线互相重合，如何添加要根据具体情况来定，作时只作一条，再根据性质得出另两条”。 ???（4）：等腰三角形的判定作用：证明同一个三角形中的边相等。 ???（5）证明一个三角形是等腰三角形（等边三角形）的方法有两种：1、利用定义? 2、利用定理。 ?【典型例题分析】 基础知识应用题： 例1. 如图，已知P、Q是△ABC边BC上两点，且BP=PQ=AP=AQ=QC，求∠BAC的度数。? ?? 解：∵AP=PQ=AQ（已知） ∴△APQ是等边三角形（等边三角形的定义） ∴∠APQ=∠AQP=∠PAQ=60°（等边三角形的性质） ∵AP=BP（已知） ∴∠PBA=∠PAB（等边对等角） 又∠APQ=∠PAB+∠PBA=60° ∴∠PBA=∠PAB=30° 同理∠QAC=30° ∴∠BAC=∠PAB+∠PAQ+∠QAC=30°+60°+30°=120° 解答此类题的步骤如下： （1）利用等边对等角根据已知角的度数求另一个角的度数。 ??? （2）利用三角形内角和定理，确定等量关系，借助等式或方程求解。 ? ? 例2. 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，D、E、F分别为AB，BC，AC上的点，且BD=CE，∠DEF=∠B。 求证：△DEF是等腰三角形。 ??? 证明：∵∠B+∠BDE+∠BED=180°（三角形内角和定理） ∠BED+∠DEF+∠FEC=180°（平角性质） ∠B=∠DEF（已知） ∴∠BDE=∠FEC（等角的补角相等） 在△BED和△CFE中 ∠BDE=∠FEC中? （已证） BD=CE?? （已知） ∠B=∠C? （已知） ∴△BED≌△CFE （ASA） ∴DE=EF? （全等三角形对应边相等） ∴△DEF是等腰三角形? （等腰三角形定义） ?例3. 已知：如图，AC和BD相交于点O，AB∥CD，OA=OB，求证：OC=OD ??? 证明：∵AB∥CD? （已知） ∴∠A=∠C，∠B=∠D? （两直线平行，内错角相等） ∵OA=OB? （已知） ∴∠A=∠B? （等边对等角） ∴∠C=∠D? （等量代换） ∴OC=OD? （等角对等边） ? ? 例4. 如图，在四边形ABDC中，AB=2AC，∠1=∠2，DA=D