[等腰三角形角平分线.doc

第一部分：知识点回顾 角平分线的性质及判定： 1、角平分线：把一个角平均分为两个相同的角的射线叫该角的平分线； 2、角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等：①平分线上的点；②点到边的距离； 3、角平分线的判定定理：到角的两边的距离相等的点在角平分线上。 4.注意在证明中用到这两个定理，如何把文字叙述转化成数学符号：例：如图 角的平分线的性质定理的几何语言： ∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E， ∴PD=PE 角的平分线的判定定理的几何语言： ∵PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD=PE ∴点P在∠AOB的平分线上 等腰三角形的性质及判定： 1.等腰三角形 有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 2.等腰三角形的性质和判定 性质1 等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”） 性质2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称为“三线合一”）”）（1）求证：AE⊥BE （2）猜想AB、AD、BC之间有何数量关系？请证明你的结论。 如图，D、E、F分别是△ABC的三条边上的点，CE=BF，△DCE和△DBF的面积相等．求证：AD平分BAC． 如图，某铁路MN与公路PQ相交于点O，且夹角为90°，其仓库G在A区，到公路和铁路距离相等，且到公路距离为5cm．（1）在图上标出仓库G的位置．（比例尺为1：10?000，用尺规作图）．（2）求出仓库G到铁路的实际距离 如图所示，AB=AC，BC=BD=ED=EA，求∠A的度数. 如图，△ABC中BA=BC，点D是AB延长线上一点，DF⊥AC于F交BC于E， 求证：△DBE是等腰三角形． 已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°． 求证：BD=AB． 第三部分：思维误区 一、忽视“垂直”条件 例1.已知，如图，CE⊥AB,BD⊥AC,∠B=∠C，BF=CF。求证：AF为∠BAC的平分线。 错误解法： 正确解法： ∵CE⊥AB,BD⊥AC（已知） ∴∠CDF=∠BEF=90° ∵∠DFC=∠BFE(对顶角相等)，BF=CF(已知) ∴△DFC≌△EFB(S.S.A.) ∴DF=EF(全等三角形对应边相等) ∵FE⊥AB,FD⊥AC（已知） ∴点F在∠BAC的平分线上(到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上) 即AF为∠BAC的平分线 错因：在应用角平分线定理及逆定理时遗漏了“垂直” 的条件。 在解等腰三角形的问题时，当给出的条件（如边、角）情况不明时，一般要分两种情况逐一分析。否则，易出现错解或漏解的错误。 一、考虑不周造成的错误 例1、已知等腰三角形一边长为7，另一边长为3，求它的周长。 错解：当腰长为7时，底边长为3。所求周长为：7×2+3=17 当腰长为3时，底边长为7。所求周长为：3×2+7=13 剖析：错解分腰长为7或3两种情况求周长貌似严密，但3+3=6＜7违背了三角形的三边关系定理，犯了考虑不周的错误。 正解：当腰长为7时，底边长为3。所求周长为：7×2+3=17 当腰长为3时，底边长为7。所求周长为：3×2+7=13 但当三角形的三边长为3，3，7时，3+3=6＜7违背了三角形的三边关系定理，不能为成一个三角形。 所以所求周长为7×2+3=17。 二、腰大于底的习惯思维造成的疏漏 例2、已知等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分成12㎝和15㎝两部 分，求这个三角形腰长和底边长。 错解：∵BD为等腰△ABC的中线 ∴AD=DC 设AB为x㎝ ，BC为ycm. 解得 所以这个三角形腰长为10㎝，底边长为7㎝。 剖析：在处理等腰三角形的问题时，有的同学习惯上总认为腰大于底，这是造成错误的原因所在。事实上本题有两种情况。 正解：此题有两种情况： ∵BD为等腰△ABC的中线 ∴AD=DC 设AB为x㎝ ，BC为ycm. (1) 解得 或 (2) 解得 所以这个三角形腰长为10㎝，底边长为7㎝或腰长为8㎝，底边长为11㎝。 三、概念不清造成的错误 例3、已知在等腰三角形中，一个角是另一个角的2 倍，求等腰三角形三个内角的度数。 错解：设等腰三角形的顶角为x°，则底角为2 x°。 根据题意，得 x+2x+2x=180 解得 x=