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[等腰直角三角形
等腰直角三角形是一种特殊的三角形,具有所有三角形的性质:稳定性,两直角边相等 直角边夹亦直角锐角45,斜边上中线角平分线垂线 三线合一,等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R,而高又为内切圆的直径(因为等腰直角三角形的两个小角均为45度,高又垂直于斜边,所以两个小三角形均为等腰直角三角形,则两腰相等);那么设内切圆的半径r为1,则外接圆的半径R就为(根号2加1),所以r:R=1:(根号2加1)。 等腰直角三角形的边角之间的关系 :
(1)三角形三内角和等于180°;
(2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和;
(3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角;
(4)三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边;
(5)在同一个三角形内,大边对大角,大角对大边.
等腰直角三角形中的四条特殊的线段:角平分线,中线,高,中位线.
(1)三角形的角平分线的交点叫做三角形的内心,它是三角形内切圆的圆心,它到各边的距离相等.
(三角形的外接圆圆心,即外心,是三角形三边的垂直平分线的交点,它到三个顶点的距离相等).
(2)三角形的三条中线的交点叫三角形的重心,它到每个顶点的距离等于它到对边中点的距离的2倍。
(3)三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。
(4)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的二分之一。
注意!三角形的内心、重心都在三角形的内部 .钝角三角形垂心、外心在三角形外部。
直角三角形 垂心、外心在三角形的边上。(直角三角形的垂心为直角顶点,外心为斜边
中点。)锐角三角形垂心、外心在三角形内部。
三角形中的线段
中线:顶点与对边中点的连线,平分三角形。
高:顶点到对边垂足的连线。
角平分线;顶点到两边距离相等的点所构成的直线。
中位线:任意两边中点的连线。
性质
等边三角形的性质:(具有等腰三角形的所有性质,结合定义更特殊)
1)等边三角形的内角都相等,且为60度 。
2)等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合(三线合一) 。
3)等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴,对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线 。
等边三角形的判定:(首先考虑判断三角形是等腰三角形)
(1)三边相等的三角形是等边三角形(定义)
(2)三个内角都相等的三角形是等边三角形
(3)有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形
理解等边三角形的性质与判定。
首先明确等边三角形定义。三边相等的三角形叫做等边三角形,也称正三角形。
其次明确等边三角形与等腰三角形的关系。等边三角形是特殊的等腰三角形,等腰三角形不一定是等边三角形。
推论1:三个角都相等的三角形是等边三角形
推论2:有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
等边三角形重心、内心 、外心、垂心重合,称为等边三角形的中心。
等边三角形的中心、内心和垂心重合于一点。(三心合一)
等边三角形的每条边上的中线、高或对角平分线重合。(三线合一)
等边三角形的复数性质
A,B,C三点的复数构成正三角形
等价于 A+wB+wwC=0
其中
w=cos(2π/3)+isin(2π/3)
1+w+ww=0解三角形
在三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c. 则有
(1)正弦定理
a/SinA=b/SinB= c/SinC=2r (外接圆半径为r)
(2)余弦定理。
a^2=b^2+c^2-2bc*CosA cosA=c^2+b^2-a^2/2cb
b^2=a^2+c^2-2ac*CosB cosB=a^2+c^2-b^2/2ac
c^2=a^2+b^2-2ab*CosC cosC=a^2+b^2-c^2/2ab
勾股定理
AB边最大,如果是直角,那么应该是AB的平方=AC平方+BC平方
BC平方=AB平方-AC平方
BC平方=4n^2+4n+1
AB^2-AC^2=(AB+AC)(AB-AC)=4N^2+4N+1=bc^2
因此是直角三角形
定理:
如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c,那么 a^2+b^2=c^2; 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 如果三角形的三条边a,b,c满足a^2+b^2=c^2,如:一条直角边是3,一条直角边是4,斜边就是3×3+4×4=X×X,X=5。那么这个三角形是直角三角形。(称勾股定理的逆定理)
三角形相关定理
重心定理
三角形的三条中线交于一点,这点到顶点的距离是它到对边中点距离的
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