第三章 第3节第三 第3节.doc

§3.3　导数的综合应用 1.利用导数研究函数单调性的步骤 (1)求导数f′(x)；(2)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)0或f′(x)0；(3)根据(2)的结果确定函数f(x)的单调区间. 2.求可导函数极值的步骤 (1)确定函数的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值. 3.求函数f(x)在闭区间[a，b]内的最大值与最小值 (1)确定函数f(x)在闭区间[a，b]内连续、可导；(2)求函数f(x)在开区间(a，b)内的极值；(3)求函数f(x)在[a，b]端点处的函数值f(a)，f(b)；(4)比较函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)的大小，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 4.生活中的优化问题 解决优化问题的基本思路： ―→ 　　　　　　　　　　　　　　↓ 5.利用导数解决实际问题中的最值问题时应注意的问题 (1)在求实际问题的最大(小)值时，一定要注意考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去； (2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个极值点，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值； (3)在解决实际问题中的优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式表示出来，还应确定函数关系式中自变量的定义区间. [难点正本　疑点清源] 1.实际问题常要求解出最大值或最小值，即探求问题的最优解(最优化方法)，一元函数问题的最值可用求导数的方法解决，而且在求导后，导数为零处常常只有一个(即方程f′(x)＝0在定义域内只有唯一解)，这个解通常就是最值点.但在解答过程中，还需对这一点的左、右函数的单调性加以验证. 2.实际问题中，建模时使用的自变量不一定是求导的最“优”变量，灵活地运用换元的方法是优化解答过程的有效手段. 3.求解不等式恒成立问题时，可以考虑将参数分离出来，将参数范围转化为研究新函数的值域问题. 4.判断方程根的个数时，可以利用数形结合思想及函数的单调性. 1.函数f(x)＝ax3＋x恰有三个单调区间，则a的取值范围是__________. 2.如图，水波的半径以50 cm/s的速度向外扩张，当半径为250 cm时，水波面的圆面积的膨胀率是____________ cm2/s. 3.若函数f(x)＝x＋asin x在R上递增，则实数a的取值范围为________. 4.(2010·山东)已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为(　　) A.13万件 B.11万件 C.9万件 D.7万件 5.已知函数f(x)的定义域为R，f′(x)为f(x)的导函数，函数y＝f′(x)的图象如图所示，且f(－2)＝1，f(3)＝1，则不等式f(x2－6)1的解集为(　　) A.(－3，－2)∪(2,3) B.(－，) C.(2,3) D.(－∞，－)∪(，＋∞) 题型一　利用导数研究函数的零点或方程根的方法 例1　已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0. (1)求f(x)的单调区间； (2)若f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围. 探究提高　(1)对于该问题的求解，一般利用研究函数的单调性、极值等性质，并借助函数图象的交点情况，建立含参数的方程组(或不等式)求之，实现形与数的和谐统一. (2)本题常见的错误是不能把函数的极值与图象交点联系起来，缺乏转化与化归、数形结合的意识. 已知函数f(x)＝x3－x2＋6x－a. (1)对x∈R，f′(x)≥m恒成立，求m的最大值； (2)若函数f(x)有且仅有一个零点，求实数a的取值范围. 题型二　利用函数研究恒成立及参数求解问题 例2　已知函数f(x)＝ln x－. (1)若a0，试判断f(x)在定义域内的单调性； (2)若f(x)在[1，e]上的最小值为，求a的值； (3)若f(x)x2在(1，＋∞)上恒成立，求a的取值范围. 探究提高　(1)求函数的单调区间，直接求导，然后解不等式即可，注意函数的定义域.(2)参数问题涉及的有最值恒成立的问题、单调性的逆向应用等，求解时注意分类讨论思想的运用. 设f(x)＝＋xln x，g(x)＝x3－x2－3. (1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程； (2)如果存在x1，x2∈[0,2]使得g(x1)－g(x2)≥M成立，求满足上述条件的最大整数M； (3)如果对任意的s，t∈都有f(s)≥g(t)成